Distribución F no central

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución F no central es una distribución de probabilidad continua que es una generalización no central de la distribución F (ordinaria) . Describe la distribución del cociente ( X / n ₁ )/( Y / n ₂ ), donde el numerador X tiene una distribución chi-cuadrado no central con n ₁ grados de libertad y el denominador Y tiene una distribución chi-cuadrado central con n ₂ grados de libertad. También se requiere que X e Y sean estadísticamente independientes entre sí.

Es la distribución del estadístico de prueba en problemas de análisis de varianza cuando la hipótesis nula es falsa. La distribución F no central se utiliza para encontrar la función de potencia de dicha prueba.

Ocurrencia y especificación

Si es una variable aleatoria chi-cuadrado no central con parámetros de no centralidad y grados de libertad, y es una variable aleatoria chi-cuadrado con grados de libertad que es estadísticamente independiente de , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F={\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}}$

es una variable aleatoria distribuida F no central . La función de densidad de probabilidad (pdf) para la distribución F no central es ^[1]

${\displaystyle p(f)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{k}}{B\left({\frac {\nu _{2}}{2}},{\frac {\nu _{1}}{2}}+k\right)k!}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+k}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{2}+\nu _{1}f}}\right)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+k}f^{\nu _{1}/2-1+k}}$

cuando y cero en caso contrario. Los grados de libertad y son positivos. El término es la función beta , donde ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$ ${\displaystyle \nu _{2}}$ ${\displaystyle B(x,y)}$

${\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

La función de distribución acumulativa para la distribución F no central es

${\displaystyle F(x\mid d_{1},d_{2},\lambda )=\sum \limits _{j=0}^{\infty }\left({\frac {\left({\frac {1}{2}}\lambda \right)^{j}}{j!}}e^{-\lambda /2}\right)I\left({\frac {d_{1}x}{d_{2}+d_{1}x}}{\bigg |}{\frac {d_{1}}{2}}+j,{\frac {d_{2}}{2}}\right)}$

¿Dónde está la función beta incompleta regularizada ? ${\displaystyle I}$

La media y la varianza de la distribución F no central son

${\displaystyle \operatorname {E} [F]\quad {\begin{cases}={\frac {\nu _{2}(\nu _{1}+\lambda )}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)}}&{\text{if }}\nu _{2}>2\\{\text{does not exist}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 2\\\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \operatorname {Var} [F]\quad {\begin{cases}=2{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^{2}+(\nu _{1}+2\lambda )(\nu _{2}-2)}{(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}-4)}}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\right)^{2}&{\text{if }}\nu _{2}>4\\{\text{does not exist}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 4.\\\end{cases}}}$

Casos especiales

Cuando λ  = 0, la distribución F no central se convierte en la distribución F.

Distribuciones relacionadas

Z tiene una distribución chi-cuadrado no central si

${\displaystyle Z=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}F}$

donde F tiene una distribución F no central .

Véase también distribución t no central .

Implementaciones

La distribución F no central se implementa en el lenguaje R (p. ej., función pf), en MATLAB (funciones ncfcdf, ncfinv, ncfpdf, ncfrnd y ncfstat en la caja de herramientas de estadísticas) en Mathematica (función NoncentralFRatioDistribution), en NumPy (random.noncentral_f) y en Bibliotecas Boost C++ . ^[2]

Una página wiki colaborativa implementa una calculadora interactiva en línea, programada en lenguaje R, para las distribuciones t, chi-cuadrado y F no centrales, en el Instituto de Estadística y Econometría de la Escuela de Negocios y Economía de la Universidad Humboldt de Berlín. ^[3]

Notas

1. S. Kay, Fundamentos del procesamiento estadístico de señales: teoría de la detección, (Nueva Jersey: Prentice Hall, 1998), p. 29.
2. John Maddock; Paul A. Bristow; Hubert Holin; Xiaogang Zhang; Bruno Lalande; Johan Rade. "Distribución F no central: Boost 1.39.0". Boost.org . Consultado el 20 de agosto de 2011 .
3. Sigbert Klinke (10 de diciembre de 2008). "Comparación de distribuciones centrales y no centrales". Humboldt-Universität zu Berlin.

Referencias

• Weisstein, Eric W .; et al. "Distribución F no central". MundoMatemático . Wolfram Research, Inc. Consultado el 20 de agosto de 2011 .