Capa perfectamente combinada

Una capa perfectamente adaptada ( PML ) es una capa absorbente artificial para ecuaciones de onda , comúnmente utilizada para truncar regiones computacionales en métodos numéricos para simular problemas con límites abiertos, especialmente en los métodos FDTD y FE . ^[1]^[2] La propiedad clave de una PML que la distingue de un material absorbente ordinario es que está diseñada de modo que las ondas incidentes sobre la PML desde un medio que no es PML no se reflejen en la interfaz; esta propiedad permite que la PML absorba fuertemente las ondas salientes del interior de una región computacional sin reflejarlas de regreso al interior.

La PML fue formulada originalmente por Berenger en 1994 ^[3] para su uso con las ecuaciones de Maxwell , y desde entonces ha habido varias reformulaciones relacionadas de la PML tanto para las ecuaciones de Maxwell como para otras ecuaciones de tipo onda, como la elastodinámica, ^[4] las ecuaciones de Euler linealizadas, las ecuaciones de Helmholtz y la poroelasticidad. La formulación original de Berenger se llama PML de campo dividido , porque divide los campos electromagnéticos en dos campos no físicos en la región PML. Una formulación posterior que se ha vuelto más popular debido a su simplicidad y eficiencia se llama PML uniaxial o UPML , ^[5] en la que la PML se describe como un material absorbente anisotrópico artificial . Aunque tanto la formulación de Berenger como la UPML se derivaron inicialmente construyendo manualmente las condiciones bajo las cuales las ondas planas incidentes no se reflejan desde la interfaz PML desde un medio homogéneo, más tarde se demostró que ambas formulaciones eran equivalentes a un enfoque mucho más elegante y general: PML de coordenadas estiradas . ^[6]^[7] En particular, se demostró que las PML corresponden a una transformación de coordenadas en la que una (o más) coordenadas se asignan a números complejos ; más técnicamente, esto es en realidad una continuación analítica de la ecuación de onda en coordenadas complejas, reemplazando las ondas que se propagan (oscilan) por ondas que decaen exponencialmente . Este punto de vista permite derivar PML para medios no homogéneos como guías de onda , así como para otros sistemas de coordenadas y ecuaciones de onda. ^[8]^[9]

Descripción técnica

Absorción de una onda esférica pulsada a través de un PML de coordenadas estiradas en el método FDTD 2D. El borde blanco indica el límite de la simulación.

En concreto, para una PML diseñada para absorber ondas que se propagan en la dirección x , se incluye la siguiente transformación en la ecuación de onda. Siempre que aparece una derivada de x en la ecuación de onda, se reemplaza por: $\parcial /\parcial x$

{\frac {\parcial }{\parcial x}}\to {\frac {1}{1+{\frac {i\sigma (x)}{\omega }}}}{\frac {\parcial }{\parcial x}}

donde es la frecuencia angular y es una función de x . Donde sea positivo, las ondas que se propagan se atenúan porque: ${\estilo de visualización \omega}$ ${\estilo de visualización \sigma}$ ${\estilo de visualización \sigma}$

e^{i(kx-\omega t)}\to e^{i(kx-\omega t)-{\frac {k}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'},

donde hemos tomado una onda plana que se propaga en la dirección + x (para ) y hemos aplicado la transformación (continuación analítica) a coordenadas complejas: , o equivalentemente . La misma transformación de coordenadas hace que las ondas se atenúen siempre que su dependencia de x esté en la forma para alguna constante de propagación k : esto incluye ondas planas que se propagan en algún ángulo con el eje x y también modos transversales de una guía de ondas. $k>0$ $x\to x+{\frac {i}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'$ $dx\to dx(1+i\sigma /\omega )$ $Estilo de visualización e^{ikx}}$

La transformación de coordenadas anterior se puede dejar como está en las ecuaciones de onda transformadas, o se puede combinar con la descripción del material (por ejemplo, la permitividad y la permeabilidad en las ecuaciones de Maxwell) para formar una descripción UPML. El coeficiente σ/ω depende de la frecuencia; esto es así, la tasa de atenuación es proporcional a k /ω, que es independiente de la frecuencia en un material homogéneo (sin incluir la dispersión del material , por ejemplo, para el vacío ) debido a la relación de dispersión entre ω y k . Sin embargo, esta dependencia de la frecuencia significa que una implementación del dominio del tiempo de PML, por ejemplo, en el método FDTD , es más complicada que para un absorbedor independiente de la frecuencia, e involucra el enfoque de la ecuación diferencial auxiliar (ADE) (equivalentemente, i /ω aparece como una integral o convolución en el dominio del tiempo).

Las capas perfectamente emparejadas, en su forma original, sólo atenúan las ondas que se propagan; las ondas puramente evanescentes (campos que decaen exponencialmente) oscilan en la PML pero no decaen más rápidamente. Sin embargo, la atenuación de las ondas evanescentes también se puede acelerar incluyendo un estiramiento de coordenadas reales en la PML: esto corresponde a hacer que σ en la expresión anterior sea un número complejo , donde la parte imaginaria produce un estiramiento de coordenadas reales que hace que las ondas evanescentes decaigan más rápidamente.

Limitaciones de las capas perfectamente emparejadas

El PML se utiliza ampliamente y se ha convertido en la técnica de límite absorbente preferida en gran parte del electromagnetismo computacional. ^[1] Aunque funciona bien en la mayoría de los casos, hay algunos casos importantes en los que falla, sufriendo reflexiones inevitables o incluso un crecimiento exponencial.

Una advertencia con las capas perfectamente emparejadas es que solo son sin reflexión para la ecuación de onda continua exacta . Una vez que la ecuación de onda se discretiza para la simulación en una computadora, aparecen algunas pequeñas reflexiones numéricas (que desaparecen al aumentar la resolución). Por esta razón, el coeficiente de absorción PML σ generalmente se activa gradualmente desde cero (por ejemplo, de manera cuadrática ) a lo largo de una distancia corta en la escala de la longitud de onda de la onda. ^[1] En general, cualquier absorbente, ya sea PML o no, es sin reflexión en el límite donde se activa de manera suficientemente gradual (y la capa absorbente se vuelve más gruesa), pero en un sistema discretizado, el beneficio de PML es reducir la reflexión de "transición" de espesor finito en muchos órdenes de magnitud en comparación con un coeficiente de absorción isotrópico simple. ^[10]

En ciertos materiales, existen soluciones de "ondas hacia atrás" en las que la velocidad de grupo y de fase son opuestas entre sí. Esto ocurre en metamateriales de índice negativo "zurdos" para el electromagnetismo y también para las ondas acústicas en ciertos materiales sólidos, y en estos casos la formulación PML estándar es inestable: conduce a un crecimiento exponencial en lugar de a una disminución, simplemente porque el signo de k está invertido en el análisis anterior. ^[11] Afortunadamente, existe una solución simple en un medio zurdo (para el que todas las ondas son hacia atrás): simplemente invierta el signo de σ. Sin embargo, una complicación es que los materiales físicos zurdos son dispersivos : solo son zurdos dentro de un cierto rango de frecuencias y, por lo tanto, el coeficiente σ debe hacerse dependiente de la frecuencia. ^[12]^[13] Desafortunadamente, incluso sin materiales exóticos, se pueden diseñar ciertas estructuras de guía de ondas (como un tubo de metal hueco con un cilindro de alto índice en su centro) que exhiben soluciones de ondas hacia atrás y hacia adelante a la misma frecuencia, de modo que cualquier elección de signo para σ conducirá a un crecimiento exponencial, y en tales casos la PML parece ser irremediablemente inestable. ^[14]

Otra limitación importante de PML es que requiere que el medio sea invariante en la dirección ortogonal al límite, para poder soportar la continuación analítica de la solución para coordenadas complejas (el "estiramiento de coordenadas" complejo). Como consecuencia, el enfoque PML ya no es válido (ya no es sin reflexión a resolución infinita) en el caso de medios periódicos (por ejemplo, cristales fotónicos o cristales fonónicos ) ^[10] o incluso simplemente una guía de ondas que ingresa al límite en un ángulo oblicuo. ^[15]

Véase también

Método Cagniard-de Hoop

Referencias

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Enlaces externos

Animación sobre los efectos de la leucoencefalopatía multifocal progresiva (YouTube)