Condición de coincidencia de anomalía

Principio de la teoría cuántica de campos.

En la teoría cuántica de campos , la condición de coincidencia de anomalías ^[1] de Gerard 't Hooft establece que el cálculo de cualquier anomalía quiral para la simetría de sabor no debe depender de la escala elegida para el cálculo si se realiza utilizando los grados de libertad. de la teoría en alguna escala de energía. También se conoce como condición de 't Hooft y condición de coincidencia de anomalía UV-IR de 't Hooft . ^[a]

't anomalías del casco

Hay dos tipos de obstrucciones estrechamente relacionadas pero diferentes para la formulación de una teoría cuántica de campos que se denominan anomalías: anomalías quirales o de Adler-Bell-Jackiw , y anomalías de 't Hooft .

Si decimos que la simetría de la teoría tiene una anomalía de 't Hooft , significa que la simetría es exacta como una simetría global de la teoría cuántica, pero hay algún impedimento para usarla como indicador en la teoría. ^[2]

Como ejemplo de una anomalía de 't Hooft, consideramos la cromodinámica cuántica con fermiones sin masa: esta es la teoría de calibre con fermiones de Dirac sin masa . Esta teoría tiene la simetría global , que a menudo se llama simetría de sabor, y esto tiene una anomalía de 't Hooft. ${\displaystyle N_{f}}$ ${\displaystyle SU(N_{c})}$ ${\displaystyle N_{f}}$ ${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$

Coincidencia de anomalías para simetría continua

La condición de coincidencia de anomalías de G. 't Hooft propone que una anomalía de simetría continua de 't Hooft se puede calcular tanto en los grados de libertad de alta como de baja energía (“UV” e “IR” ^[a] ) y dar la misma respuesta.

Ejemplo

Por ejemplo, consideremos la cromodinámica cuántica con Nf _quarks sin masa . Esta teoría tiene la simetría de sabor ^[b]. Esta simetría de sabor se vuelve anómala cuando se introduce el campo de calibre de fondo. Se pueden utilizar los grados de libertad en el límite de energía más bajo (lejos “IR” ^[a] ) o los grados de libertad en el límite de energía muy alto (lejos “UV” ^[a] ) para calcular la anomalía. En el primer caso sólo se deberían considerar fermiones sin masa o bosones de Nambu-Goldstone , que pueden ser partículas compuestas, mientras que en el segundo caso sólo se deberían considerar los fermiones elementales de la teoría subyacente de las cortas distancias. En ambos casos la respuesta debe ser la misma. De hecho, en el caso de QCD , se produce la ruptura de la simetría quiral y el término Wess-Zumino-Witten para los bosones de Nambu-Goldstone reproduce la anomalía. ^[3] ${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$ ${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$

Prueba

Se prueba esta condición mediante el siguiente procedimiento: ^[1] podemos agregar a la teoría un campo calibre que se acopla a la corriente relacionada con esta simetría, así como fermiones quirales que se acoplan sólo a este campo calibre , y cancelan la anomalía (así que la simetría del calibre permanecerá no anómala , según sea necesario para la coherencia).

En el límite donde las constantes de acoplamiento que hemos agregado llegan a cero, se regresa a la teoría original, más los fermiones que hemos agregado; estos últimos siguen siendo buenos grados de libertad en todas las escalas de energía, ya que son fermiones libres en este límite. La anomalía de simetría de calibre se puede calcular en cualquier escala de energía y siempre debe ser cero, para que la teoría sea consistente. Ahora se puede obtener la anomalía de la simetría en la teoría original restando los fermiones libres que hemos agregado, y el resultado es independiente de la escala de energía.

Prueba alternativa

Otra forma de demostrar la coincidencia de anomalías para simetrías continuas es utilizar el mecanismo de entrada de anomalías. ^[4] Para ser específicos, a continuación consideramos el espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Para simetrías continuas globales , introducimos el campo de calibre de fondo y calculamos la acción efectiva . Si hay una anomalía 't Hooft para , la acción efectiva no es invariante bajo la transformación de calibre en el campo de calibre de fondo y no se puede restaurar agregando ningún término contador local de cuatro dimensiones de . La condición de consistencia de Wess-Zumino ^[5] muestra que podemos hacerla invariante agregando la acción de cinco dimensiones de Chern-Simons . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma [A]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma [A]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Con la dimensión adicional, ahora podemos definir la acción efectiva utilizando la teoría efectiva de baja energía que solo contiene los grados de libertad sin masa integrando campos masivos. Dado que debe volver a ser invariante de calibre agregando el mismo término de cinco dimensiones de Chern-Simons, la anomalía de 't Hooft no cambia al integrar grados masivos de libertad. ${\displaystyle \Gamma [A]}$

Ver también

• Monopolo 't Hooft-Polyakov
• 't bucle del casco
• 't símbolo del casco

Notas

1. En el contexto de la teoría cuántica de campos, "UV" en realidad significa el límite de alta energía de una teoría, y "IR" significa el límite de baja energía, por analogía con las periferias superior e inferior de la luz visible, pero no en realidad. es decir, luz o esas energías particulares.
2. . La simetría axial U(1) se rompe por la anomalía quiral o los instantenes, por lo que no se incluye en el ejemplo.

Referencias

1. 't Hooft, G. (1980). "Naturalidad, simetría quiral y ruptura espontánea de la simetría quiral". En 't Hooft, G. (ed.). Desarrollos recientes en las teorías de calibre . Prensa Plenaria . ISBN 978-0-306-40479-5.
2. Kapustin, A.; Thorngren, R. (2014). "Simetrías discretas anómalas en tres dimensiones y cohomología de grupo". Cartas de revisión física . 112 (23): 231602. arXiv : 1403.0617 . Código Bib : 2014PhRvL.112w1602K. doi : 10.1103/PhysRevLett.112.231602. PMID  24972194. S2CID  35171032.
3. Frishman, Y.; Nadador, A.; Bancos, T.; Yankielowicz, S. (1981). "La anomalía axial y el espectro de estados ligados en teorías confinantes". Física Nuclear B. 177 (1): 157-171. Código bibliográfico : 1981NuPhB.177..157F. doi :10.1016/0550-3213(81)90268-6.
4. Callan, hijo, CG; Harvey, JA (1985). "Anomalías y modos cero de fermiones en cuerdas y paredes de dominio". Física Nuclear B. 250 (1–4): 427–436. Código bibliográfico : 1985NuPhB.250..427C. doi :10.1016/0550-3213(85)90489-4.
5. Wess, J.; Zumino, B. (1971). "Consecuencias de las identidades de barrio anómalas". Letras de Física B. 37 (1): 95. Código bibliográfico : 1971PhLB...37...95W. doi :10.1016/0370-2693(71)90582-X.