Medición de un círculo o dimensión del círculo ( griego : Κύκλου μέτρησις , Kuklou metrēsis ) [1] es un tratado que consta de tres proposiciones, probablemente hechas por Arquímedes , ca. 250 a. C. [2] [3] El tratado es solo una fracción de lo que fue una obra más larga. [4] [5]
La proposición 1 establece: El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el que uno de los lados que rodean el ángulo recto es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo. Cualquier círculo con una circunferencia c y un radio r es igual en área a un triángulo rectángulo con dos catetos c y r . Esta proposición se demuestra por el método de exhaución . [6]
La segunda proposición establece:
El área de un círculo es al cuadrado de su diámetro como 11 elevado a 14.
Esta proposición no pudo haber sido planteada por Arquímedes, ya que se basa en el resultado de la tercera proposición. [6]
La tercera proposición establece:
La relación entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro es mayor que pero menor que .
Esto se aproxima a lo que ahora llamamos la constante matemática π . Encontró estos límites en el valor de π inscribiendo y circunscribiendo un círculo con dos polígonos regulares similares de 96 lados . [7]
Esta proposición también contiene aproximaciones precisas a la raíz cuadrada de 3 (una mayor y otra menor) y otras raíces cuadradas no perfectas mayores ; sin embargo, Arquímedes no da ninguna explicación de cómo encontró estos números. [5] Da los límites superior e inferior de √ 3 como 1351/780 > √ 3 > 265/153 . [6] Sin embargo, estos límites son familiares a partir del estudio de la ecuación de Pell y los convergentes de una fracción continua asociada , lo que lleva a mucha especulación sobre cuánto de esta teoría de números podría haber sido accesible para Arquímedes. La discusión de este enfoque se remonta al menos a Thomas Fantet de Lagny , FRS (comparar Cronología del cálculo de π ) en 1723, pero fue tratado de manera más explícita por Hieronymus Georg Zeuthen . A principios de la década de 1880, Friedrich Otto Hultsch (1833-1906) y Karl Heinrich Hunrath (nacido en 1847) notaron cómo los límites podían encontrarse rápidamente por medio de límites binomiales simples en raíces cuadradas cercanas a un cuadrado perfecto modelado en Elementos II.4, 7; este método es el favorecido por Thomas Little Heath . Aunque sólo se menciona una ruta para llegar a los límites, en realidad hay otras dos, lo que hace que los límites sean casi ineludibles independientemente de cómo se utilice el método. Pero los límites también pueden generarse mediante una construcción geométrica iterativa sugerida por el Stomachion de Arquímedes en el contexto del dodecágono regular. En este caso, la tarea consiste en dar aproximaciones racionales a la tangente de π/12.
La
medición del círculo
fue escrita por Arquímedes (aprox. 250 a. C.)
un momento relativamente tardío de su carrera, pero esta opinión es consecuencia de un claro malentendido.
