u-invariante

En matemáticas , el invariante universal o u -invariante de un campo describe la estructura de las formas cuadráticas sobre el campo.

El invariante universal u ( F ) de un cuerpo F es la dimensión más grande de un espacio cuadrático anisotrópico sobre F , o ∞ si este no existe. Dado que los cuerpos formalmente reales tienen formas cuadráticas anisotrópicas (sumas de cuadrados) en cada dimensión, el invariante solo es de interés para otros cuerpos. Una formulación equivalente es que u es el número más pequeño tal que cada forma de dimensión mayor que u es isotrópica , o que cada forma de dimensión al menos u es universal .

Ejemplos

• Para los números complejos , u ( C ) = 1.
• Si F está cuadráticamente cerrado entonces u ( F ) = 1.
• El campo de funciones de una curva algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado tiene u ≤ 2; esto se deduce del teorema de Tsen de que dicho campo es cuasi-algebraicamente cerrado . ^[1]
• Si F es un campo global o local no real , o más generalmente un campo vinculado , entonces u ( F ) = 1, 2, 4 u 8. ^[2]

Propiedades

• Si F no es formalmente real y la característica de F no es 2 entonces u ( F ) es como máximo , el índice de los cuadrados en el grupo multiplicativo de F . ^[3] ${\displaystyle q(F)=\left|{F^{\star }/F^{\star 2}}\right|}$
• u ( F ) no puede tomar los valores 3, 5 o 7. ^[4] Existen campos con u  = 6 ^{[5] [6]} y u  = 9. ^[7]
• Merkurjev ha demostrado que todo entero par ocurre como el valor de u ( F ) para algún F . ^{[8] [9]}
• Alexander Vishik demostró que existen campos con u -invariante para todos los . ^[10] ${\displaystyle 2^{r}+1}$ ${\displaystyle r>3}$
• El invariante u está acotado bajo extensiones de campo de grado finito . Si E / F es una extensión de campo de grado n entonces

${\displaystyle u(E)\leq {\frac {n+1}{2}}u(F)\ .}$

En el caso de extensiones cuadráticas, el invariante u está acotado por

${\displaystyle u(F)-2\leq u(E)\leq {\frac {3}{2}}u(F)\ }$

y se alcanzan todos los valores en este rango. ^[11]

El generaltú-invariante

Como el u -invariante es de poco interés en el caso de campos formalmente reales, definimos un u -invariante general como la dimensión máxima de una forma anisotrópica en el subgrupo de torsión del anillo de Witt de F , o ∞ si este no existe. ^[12] Para campos no formalmente reales, el anillo de Witt es torsión, por lo que esto concuerda con la definición anterior. ^[13] Para un campo formalmente real, el u -invariante general es par o ∞.

Propiedades

• u ( F ) ≤ 1 si y sólo si F es un cuerpo pitagórico . ^[13]

Referencias

1. Lam (2005) pág. 376
2. Lam (2005) pág. 406
3. Lam (2005) pág. 400
4. Lam (2005) pág. 401
5. Lam (2005) pág. 484
6. Lam, TY (1989). "Campos de u-invariante 6 según A. Merkurjev". Teoría de anillos 1989. En honor a SA Amitsur, Proc. Symp. y taller, Jerusalén 1988/89 . Israel Math. Conf. Proc. Vol. 1. págs. 12–30. Zbl  0683.10018.
7. Izhboldin, Oleg T. (2001). "Campos de u-invariante 9". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 154 (3): 529–587. doi :10.2307/3062141. JSTOR  3062141. Zbl  0998.11015.
8. Lam (2005) pág. 402
9. Elman, Karpenko, Merkurjev (2008) pág. 170
10. Vishik, Alexander (2009). "Campos de u -invariante ". Álgebra, aritmética y geometría. Progreso en matemáticas . Birkhäuser Boston. doi :10.1007/978-0-8176-4747-6_22. ${\displaystyle 2^{r}+1}$
11. Mináč, Ján; Wadsworth, Adrian R. (1995). "El invariante u para extensiones algebraicas". En Rosenberg, Alex (ed.). Teoría K y geometría algebraica: conexiones con formas cuadráticas y álgebras de división. Instituto de investigación de verano sobre formas cuadráticas y álgebras de división, 6-24 de julio de 1992, Universidad de California, Santa Bárbara, CA (EE. UU.) . Proc. Symp. Matemática pura. Vol. 58. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 333–358. Zbl  0824.11018.
12. Lam (2005) pág. 409
13. Lam (2005) pág. 410

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN. 0-8218-1095-2.MR  2104929.Zbl 1068.11023  .​
• Rajwade, AR (1993). Squares . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 171. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-42668-5.Zbl 0785.11022  .
• Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008). La teoría algebraica y geométrica de las formas cuadráticas . Publicaciones del Colloquium de la American Mathematical Society. Vol. 56. American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 978-0-8218-4329-1.