Sistema cuántico de dos estados

Sistema mecánico cuántico simple

Un átomo de plata eléctricamente neutro atraviesa el campo magnético no homogéneo del experimento de Stern-Gerlach y se divide en dos, cada uno de los cuales corresponde a un posible valor de espín del electrón más externo del átomo de plata.

En mecánica cuántica , un sistema de dos estados (también conocido como sistema de dos niveles ) es un sistema cuántico que puede existir en cualquier superposición cuántica de dos estados cuánticos independientes (físicamente distinguibles) . El espacio de Hilbert que describe un sistema de este tipo es bidimensional . Por lo tanto, una base completa que abarque el espacio constará de dos estados independientes. Cualquier sistema de dos estados también puede considerarse un cúbit .

Los sistemas de dos estados son los sistemas cuánticos más simples que resultan de interés, ya que la dinámica de un sistema de un estado es trivial (ya que no existen otros estados en los que pueda existir el sistema). El marco matemático necesario para el análisis de sistemas de dos estados es el de las ecuaciones diferenciales lineales y el álgebra lineal de espacios bidimensionales. Como resultado, la dinámica de un sistema de dos estados se puede resolver analíticamente sin ninguna aproximación. El comportamiento genérico del sistema es que la amplitud de la función de onda oscila entre los dos estados.

Un ejemplo bien conocido de un sistema de dos estados es el espín de una partícula de espín 1/2 , como un electrón, cuyo espín puede tener valores + ħ /2 o − ħ /2, donde ħ es la constante de Planck reducida .

El sistema de dos estados no puede utilizarse como descripción de la absorción o la descomposición, porque estos procesos requieren el acoplamiento a un continuo. Estos procesos implicarían una descomposición exponencial de las amplitudes, pero las soluciones del sistema de dos estados son oscilatorias.

Soluciones analíticas para energías de estado estacionario y dependencia del tiempo

Representación

Suponiendo que los dos estados base disponibles del sistema son y , en general el estado puede escribirse como una superposición de estos dos estados con amplitudes de probabilidad , ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |2\rangle }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ $${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle .}$$

Dado que los estados base son ortonormales , donde y es el delta de Kronecker , entonces . Estos dos números complejos pueden considerarse coordenadas en un espacio de Hilbert complejo bidimensional . ^[1] Por lo tanto, el vector de estado correspondiente al estado es y los estados base corresponden a los vectores base, y ${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}$ ${\displaystyle i,j\in {1,2}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle c_{i}=\langle i|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|\psi \rangle \\\langle 2|\psi \rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {c} ,}$$ $${\displaystyle |1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|1\rangle \\\langle 2|1\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle |2\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|2\rangle \\\langle 2|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.}$$

Si el estado está normalizado , la norma del vector de estado es la unidad, es decir . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$

Todas las magnitudes físicas observables , como la energía, están asociadas con operadores hermíticos . En el caso de la energía y el hamiltoniano correspondiente , H , esto significa que ie y son reales, y . Por lo tanto, estos cuatro elementos de la matriz producen una matriz hermítica de 2×2 . $${\displaystyle H_{ij}=\langle i|H|j\rangle =\langle j|H|i\rangle ^{*}=H_{ji}^{*},}$$ ${\displaystyle H_{11}}$ ${\displaystyle H_{22}}$ ${\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}}$ ${\displaystyle H_{ij}}$ $${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\langle 1|H|1\rangle &\langle 1|H|2\rangle \\\langle 2|H|1\rangle &\langle 2|H|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}.}$$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo establece que ; sustituyendo por en términos de los estados base de arriba, y multiplicando ambos lados por o produce un sistema de dos ecuaciones lineales que se pueden escribir en forma matricial, o que es un problema de autovalores y autovectores de matriz 2×2 . Como se mencionó anteriormente, esta ecuación proviene de introducir un estado general en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Recuerde que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es una condición restrictiva utilizada para especificar los autoestados. Por lo tanto, al introducir un estado general en ella, estamos viendo qué forma debe adoptar el estado general para ser un autoestado. Al hacerlo, y distribuir, obtenemos , que requiere que o sea cero ( no puede ser igual a ambos y , las energías de los estados individuales, que son por definición diferentes). Al establecer o como 0, solo queda un estado, y es la energía del estado superviviente. Este resultado es un recordatorio redundante de que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo solo se satisface para estados propios de H, que son (por definición del vector de estado) los estados donde todos los coeficientes excepto uno son cero. Ahora, si seguimos la misma derivación, pero antes de actuar con el hamiltoniano en los estados individuales, multiplicamos ambos lados por o , obtenemos un sistema de dos ecuaciones lineales que se pueden combinar en la ecuación matricial anterior. Como antes, esto solo se puede satisfacer si o es cero, y cuando esto sucede, la constante será la energía del estado restante. La ecuación matricial anterior debe, por lo tanto, interpretarse como una condición restrictiva en un vector de estado general para producir un vector propio de , exactamente análogo a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. ${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle 1|}$ ${\displaystyle \langle 2|}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {Hc} =E\mathbf {c} }$ ${\displaystyle c_{1}H|1\rangle +c_{2}H|2\rangle =c_{1}E|1\rangle +c_{2}E|2\rangle }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \langle 1|}$ ${\displaystyle \langle 2|}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$

Por supuesto, en general, conmutar la matriz con un vector de estado no dará como resultado el mismo vector multiplicado por una constante E. Para que tenga validez general, hay que escribir la ecuación en la forma con las energías de los estados propios individuales todavía dentro del vector producto. En cualquier caso, la matriz hamiltoniana se puede derivar utilizando el método especificado anteriormente, o mediante el método más tradicional de construir una matriz utilizando condiciones de contorno; específicamente, utilizando el requisito de que cuando actúa en cualquier estado base, debe devolver ese estado multiplicado por la energía de ese estado. (No hay condiciones de contorno sobre cómo actúa en un estado general). Esto da como resultado una matriz diagonal con los elementos diagonales siendo las energías de los estados propios y los elementos fuera de la diagonal siendo cero. La forma de la matriz anterior que utiliza hamiltonianos encerrados entre corchetes es una versión más generalizada de esta matriz. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}c_{1}\\\varepsilon _{2}c_{2}\end{pmatrix}},}$$

Uno podría preguntarse por qué es necesario escribir la matriz hamiltoniana en una forma tan general con hamiltonianos encerrados entre corchetes, ya que siempre debe ser igual a cero y siempre debe ser igual a . La razón es que, en algunos problemas más complejos, los vectores de estado pueden no ser estados propios del hamiltoniano utilizado en la matriz. Un lugar donde esto ocurre es en la teoría de perturbación degenerada , donde los elementos fuera de la diagonal son distintos de cero hasta que el problema se resuelve por diagonalización . ${\displaystyle H_{ij},i\neq j}$ ${\displaystyle H_{ii}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Debido a la hermiticidad de los valores propios son reales; o, más bien, a la inversa, es el requisito de que las energías sean reales lo que implica la hermiticidad de . Los vectores propios representan los estados estacionarios , es decir, aquellos para los que la magnitud absoluta de los cuadrados de las amplitudes de probabilidad no cambian con el tiempo. ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Valores propios del hamiltoniano

La forma más general de una matriz hermítica 2×2, como el hamiltoniano de un sistema de dos estados, se obtiene mediante la fórmula: donde y γ son números reales con unidades de energía. Los niveles de energía permitidos del sistema, es decir, los valores propios de la matriz hamiltoniana, se pueden hallar de la forma habitual. $${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\varepsilon _{2}\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\beta }$

De manera equivalente, esta matriz se puede descomponer como, Aquí, y son números reales. La matriz es la matriz identidad 2×2 y las matrices con son las matrices de Pauli . Esta descomposición simplifica el análisis del sistema, especialmente en el caso independiente del tiempo, donde los valores de y son constantes. $${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\beta \cdot \sigma _{1}+\gamma \cdot \sigma _{2}+\delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\delta &\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\alpha -\delta \end{pmatrix}}.}$$ ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right)}$ ${\textstyle \delta ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,3}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle \delta }$

El hamiltoniano se puede resumir aún más como $${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}.}$$

El vector está dado por y está dado por . Esta representación simplifica el análisis de la evolución temporal del sistema y es más fácil de usar con otras representaciones especializadas como la esfera de Bloch . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\delta )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$

Si el hamiltoniano independiente del tiempo H del sistema de dos estados se define como se indica anteriormente, sus valores propios se expresan mediante . Evidentemente, α es la energía promedio de los dos niveles y la norma de es la división entre ellos. Los vectores propios correspondientes se denotan como y . ${\displaystyle E_{\pm }=\alpha \pm |\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$

Dependencia del tiempo

Ahora asumimos que las amplitudes de probabilidad dependen del tiempo, aunque los estados base no lo son. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo establece , y procediendo como antes (sustituyendo por y premultiplicando por nuevamente produce un par de ecuaciones lineales acopladas, pero esta vez son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden: . Si es independiente del tiempo hay varios enfoques para encontrar la dependencia temporal de , como los modos normales . El resultado es que donde es el vector de estado en . Aquí el exponencial de una matriz se puede encontrar a partir de la expansión en serie. La matriz se llama matriz de evolución temporal (que comprende los elementos de la matriz del operador de evolución temporal correspondiente ). Se demuestra fácilmente que es unitario , lo que significa que . ${\textstyle i\hbar \partial _{t}|\psi \rangle =H|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle 1|,\langle 2|}$ ${\textstyle i\hbar \partial _{t}\mathbf {c} =\mathbf {Hc} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {c} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }\mathbf {c} _{0}=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{0}=\mathbf {c} (0)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {U} =1}$

Se puede demostrar que donde $${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\hat {r}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right),}$$ ${\textstyle {\hat {r}}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}.}$

Cuando uno cambia la base a los vectores propios del hamiltoniano, en otras palabras, si se eligen los estados base para que sean los vectores propios, entonces y y por lo tanto el hamiltoniano es diagonal, es decir, y tiene la forma, ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$ ${\displaystyle \epsilon _{1}=H_{11}=\langle 1|H|1\rangle =E_{1}\langle 1|1\rangle =E_{1}}$ ${\displaystyle \beta +i\gamma =H_{21}=\langle 2|H|1\rangle =E_{1}\langle 2|1\rangle =0}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |=\delta }$ $${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\end{pmatrix}}.}$$

Ahora bien, el operador de evolución temporal unitario se ve fácilmente dado por: El factor simplemente contribuye a la fase general del operador, y normalmente se puede ignorar para producir un nuevo operador de evolución temporal que es físicamente indistinguible del operador original. Además, cualquier perturbación del sistema (que será de la misma forma que el hamiltoniano) se puede añadir al sistema en la base propia del hamiltoniano no perturbado y analizar de la misma manera que antes. Por lo tanto, para cualquier perturbación, los nuevos vectores propios del sistema perturbado se pueden resolver exactamente, como se mencionó en la introducción. ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }={\begin{pmatrix}e^{-iE_{1}t/\hbar }&0\\0&e^{-iE_{2}vt/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }{\begin{pmatrix}e^{-i\delta t/\hbar }&0\\0&e^{i\delta t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right){\boldsymbol {\sigma }}_{3}\right).}$$ ${\displaystyle e^{-i\alpha t/\hbar }}$

Fórmula de Rabi para una perturbación estática

Supongamos que el sistema comienza en uno de los estados base en , digamos que , y estamos interesados ​​en la probabilidad de ocupación de cada uno de los estados base en función del tiempo cuando es el hamiltoniano independiente del tiempo. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\textstyle \mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ $${\displaystyle \mathbf {c} (t)=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)&U_{12}(t)\\U_{21}(t)&U_{22}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)\\U_{21}(t)\end{pmatrix}}.}$$

La probabilidad de ocupación del estado i es . En el caso del estado inicial, , y desde arriba, Por lo tanto, ${\displaystyle P_{i}(t)=|c_{i}(t)|^{2}=|U_{i1}(t)|^{2}}$ ${\displaystyle P_{1}(t)=|c_{1}(t)|^{2}=|U_{11}(t)|^{2}}$ $${\displaystyle U_{11}(t)=e^{\frac {-i\alpha t}{\hbar }}\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\frac {\delta }{|\mathbf {r} |}}\right).}$$ $${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(\Omega t)+\sin ^{2}(\Omega t){\frac {\Delta ^{2}}{\Omega ^{2}}}.}$$

Obviamente, debido a la condición inicial, la frecuencia se denomina frecuencia generalizada de Rabi, se denomina frecuencia de Rabi y se denomina desafinación. ${\displaystyle P_{1}(0)=1}$ $${\displaystyle \Omega ={\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}={\frac {1}{\hbar }}{\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}={\sqrt {|\Omega _{R}|^{2}+\Delta ^{2}}}}$$ ${\displaystyle \Omega _{R}=(\beta +i\gamma )/\hbar }$ ${\displaystyle \Delta =\delta /\hbar }$

En la desafinación cero, , es decir, hay oscilaciones de Rabi desde la ocupación garantizada del estado 1, a la ocupación garantizada del estado 2, y de regreso al estado 1, etc., con frecuencia . A medida que aumenta la desafinación alejándose de cero, la frecuencia de las oscilaciones aumenta (a Ω ) y la amplitud de excitación del electrón disminuye a . ${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(|\Omega _{R}|t)}$ ${\displaystyle |\Omega _{R}|}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}/\Delta ^{2}}$

Para los hamiltonianos dependientes del tiempo inducidos por ondas de luz, consulte los artículos sobre el ciclo de Rabi y la aproximación de ondas rotatorias .

Algunos sistemas importantes de dos estados

Precesión en un campo

Consideremos el caso de una partícula de espín 1/2 en un campo magnético . El hamiltoniano de interacción para este sistema es donde es la magnitud del momento magnético de la partícula y es el vector de matrices de Pauli . Resolviendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo obtenemos donde y . Físicamente, esto corresponde al vector de Bloch que precesa alrededor con una frecuencia angular . Sin pérdida de generalidad, supongamos que el campo es uniforme en los puntos , de modo que el operador de evolución temporal se da como ${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle H\psi =i\hbar \partial _{t}\psi }$ $${\displaystyle \psi (t)=e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }\psi (0),}$$ ${\displaystyle \omega =\mu B/\hbar }$ ${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }=\cos {\left(\omega t\right)}I+i\;\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\sin {\left(\omega t\right)}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle 2\omega }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ $${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }={\begin{pmatrix}e^{i\omega t}&0\\0&e^{-i\omega t}\end{pmatrix}}.}$$

Se puede observar que dicho operador de evolución temporal que actúa sobre un estado de espín general de una partícula de espín 1/2 conducirá a la precesión sobre el eje definido por el campo magnético aplicado (este es el equivalente mecánico cuántico de la precesión de Larmor ) ^[2].

El método anterior se puede aplicar al análisis de cualquier sistema genérico de dos estados que esté interactuando con algún campo (equivalente al campo magnético en el caso anterior) si la interacción está dada por un término de acoplamiento apropiado que sea análogo al momento magnético. La precesión del vector de estado (que no necesita ser un giro físico como en el caso anterior) se puede ver como la precesión del vector de estado en la esfera de Bloch .

La representación en la esfera de Bloch para un vector de estado será simplemente el vector de valores esperados . Como ejemplo, considere un vector de estado que es una superposición normalizada de y , es decir, un vector que se puede representar en la base como ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\langle \sigma _{x}\rangle ,\langle \sigma _{y}\rangle ,\langle \sigma _{z}\rangle \right)}$ ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ $${\displaystyle \psi (0)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$$

Los componentes de en la esfera de Bloch serán simplemente . Este es un vector unitario que comienza apuntando a lo largo y precesa alrededor de manera zurda. En general, mediante una rotación alrededor de , cualquier vector de estado se puede representar como con coeficientes reales y . Un vector de estado de este tipo corresponde a un vector de Bloch en el plano xz que forma un ángulo con el eje z . Este vector procederá a precesar alrededor de . En teoría, al permitir que el sistema interactúe con el campo de una dirección y una intensidad particulares durante duraciones precisas, es posible obtener cualquier orientación del vector de Bloch , lo que equivale a obtener cualquier superposición compleja. Esta es la base de numerosas tecnologías, incluidas la computación cuántica y la resonancia magnética . ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\cos {2\omega t},-\sin {2\omega t},0\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle a\left|\uparrow \right\rangle +b\left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \tan(\theta /2)=b/a}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$

Evolución en un campo dependiente del tiempo: resonancia magnética nuclear

La resonancia magnética nuclear (RMN) es un ejemplo importante en la dinámica de los sistemas de dos estados porque implica la solución exacta de un hamiltoniano dependiente del tiempo. El fenómeno de RMN se logra colocando un núcleo en un campo estático fuerte B ₀ (el "campo de retención") y luego aplicando un campo transversal débil B ₁ que oscila a una cierta radiofrecuencia ω _r . ^[3] Explícitamente, considere una partícula de espín 1/2 en un campo de retención y un campo de radiofrecuencia transversal B ₁ que gira en el plano xy de manera dextrógira alrededor de B ₀ : ${\displaystyle B_{0}\mathbf {\hat {z}} }$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1}\cos \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{1}\sin \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{0}\end{pmatrix}}.}$$

Al igual que en el caso de precesión libre, el hamiltoniano es , y la evolución de un vector de estado se obtiene resolviendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo . Después de algunas manipulaciones (que se muestran en la sección colapsada a continuación), se puede demostrar que la ecuación de Schrödinger se convierte en donde y . ${\displaystyle H=-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle H\psi =i\hbar \,\partial \psi /\partial t}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$$ ${\displaystyle \omega _{0}=\mu B_{0}/\hbar }$ ${\displaystyle \omega _{1}=\mu B_{1}/\hbar }$

Como en la sección anterior, la solución a esta ecuación tiene el vector de Bloch precesando con una frecuencia que es el doble de la magnitud del vector. Si es suficientemente fuerte, una proporción de los espines apuntarán directamente hacia abajo antes de la introducción del campo giratorio. Si la frecuencia angular del campo magnético giratorio se elige de manera que , en el marco giratorio el vector de estado precesará con una frecuencia , y así cambiará de abajo a arriba liberando energía en forma de fotones detectables. ^{[ cita requerida ]} Esta es la base fundamental para la RMN , y en la práctica se logra escaneando hasta que se encuentra la frecuencia de resonancia en cuyo punto la muestra emitirá luz. Se realizan cálculos similares en física atómica, y en el caso de que el campo no esté rotando, sino oscilando con una amplitud compleja, se hace uso de la aproximación de onda rotatoria para derivar tales resultados. ${\displaystyle (\omega _{1},0,\omega _{0}+\omega _{r}/2)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{r}=-2\omega _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle 2\omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{r}}$

Derivación de la expresión anterior para la ecuación de Schrödinger de RMN

Aquí la ecuación de Schrödinger se lee $${\displaystyle -\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

Al expandir el producto escalar y dividirlo por obtenemos ${\displaystyle i\hbar }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\omega _{0}\sigma _{z}\right)\psi .}$$

Para eliminar la dependencia temporal del problema, la función de onda se transforma de acuerdo con . La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se convierte en que después de algún reordenamiento da como resultado ${\displaystyle \psi \rightarrow e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi }$ $${\displaystyle -i\sigma _{z}{\frac {\omega _{r}}{2}}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi +e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\omega _{0}\sigma _{z}\right)e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=ie^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\left(\omega _{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi }$$

Evaluar cada término en el lado derecho de la ecuación $${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{x}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&e^{i\omega _{r}t}\\e^{-i\omega _{r}t}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{y}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-ie^{i\omega _{r}t}\\ie^{-i\omega _{r}t}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{z}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}=\sigma _{z}}$$

La ecuación ahora se lee, la cual por la identidad de Euler se convierte en $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}{\begin{pmatrix}0&e^{i\omega _{r}t}\left(\cos {\omega _{r}t}-i\sin {\omega _{r}t}\right)\\e^{-i\omega _{r}t}\left(\cos {\omega _{r}t}+i\sin {\omega _{r}t}\right)&0\end{pmatrix}}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi }$$

Relación con las ecuaciones de Bloch

Las ecuaciones ópticas de Bloch para un conjunto de partículas de espín 1/2 se pueden derivar de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para un sistema de dos niveles. Comenzando con el hamiltoniano mencionado anteriormente , se puede escribir en notación de suma después de algún reordenamiento como ${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \psi }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\sigma _{i}B_{i}\psi }$$

Al multiplicar por una matriz de Pauli y la transpuesta conjugada de la función de onda, y luego expandir el producto de dos matrices de Pauli, se obtiene ${\displaystyle \sigma _{i}}$ $${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}\psi =i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(I\delta _{ij}-i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi }$$

Al sumar esta ecuación a su propia transpuesta conjugada se obtiene un lado izquierdo de la forma $${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}\sigma _{j}\psi ={\frac {\partial \left(\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\psi \right)}{\partial t}}}$$

Y un lado derecho del formulario $${\displaystyle {\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi +{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(-iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {2\mu }{\hbar }}\left(\psi ^{\dagger }\sigma _{k}\psi \right)B_{i}\varepsilon _{ijk}}$$

Como se mencionó anteriormente, el valor esperado de cada matriz de Pauli es un componente del vector de Bloch , . Igualando los lados izquierdo y derecho, y notando que es la relación giromagnética , se obtiene otra forma para las ecuaciones de movimiento del vector de Bloch donde se ha utilizado el hecho de que . En forma vectorial, estas tres ecuaciones se pueden expresar en términos de un producto vectorial Clásicamente, esta ecuación describe la dinámica de un espín en un campo magnético. Un imán ideal consiste en una colección de espines idénticos que se comportan de forma independiente y, por lo tanto, la magnetización total es proporcional al vector de Bloch . Todo lo que queda para obtener la forma final de las ecuaciones ópticas de Bloch es la inclusión de los términos de relajación fenomenológica . ${\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =\psi ^{\dagger }\sigma _{i}\psi =R_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {2\mu }{\hbar }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\frac {\partial R_{j}}{\partial t}}=\gamma R_{k}B_{i}\varepsilon _{kij}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{kij}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {R} }{\partial t}}=\gamma \mathbf {R} \times \mathbf {B} }$$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Como comentario final, la ecuación anterior se puede derivar considerando la evolución temporal del operador del momento angular en la imagen de Heisenberg . $${\displaystyle i\hbar {\frac {d\sigma _{j}}{dt}}=\left[\sigma _{j},H\right]=\left[\sigma _{j},-\mu \sigma _{i}B_{i}\right]=-\mu \left(\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}-\sigma _{i}\sigma _{j}B_{i}\right)=\mu [\sigma _{i},\sigma _{j}]B_{i}=2\mu i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}B_{i}}$$

Cuando se combina con el hecho de que , esta ecuación es la misma ecuación que antes. ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\langle \sigma _{i}\rangle }$

Validez

Los sistemas de dos estados son los sistemas cuánticos no triviales más simples que existen en la naturaleza, pero los métodos de análisis mencionados anteriormente no son válidos únicamente para sistemas de dos estados simples. Cualquier sistema cuántico multiestado general puede tratarse como un sistema de dos estados siempre que el observable en el que se esté interesado tenga dos valores propios. Por ejemplo, una partícula de espín 1/2 puede tener en realidad grados de libertad adicionales de traslación o incluso de rotación, pero esos grados de libertad son irrelevantes para el análisis precedente. Matemáticamente, los grados de libertad desatendidos corresponden a la degeneración de los valores propios del espín.

Otro caso en el que el formalismo de dos estados efectivos es válido es cuando el sistema en consideración tiene dos niveles que están efectivamente desacoplados del sistema. Este es el caso del análisis de la emisión espontánea o estimulada de luz por átomos y la de los qubits de carga . En este caso se debe tener en cuenta que las perturbaciones (interacciones con un campo externo) están en el rango adecuado y no provocan transiciones a estados distintos a los de interés.

Significado y otros ejemplos

Desde el punto de vista pedagógico, el formalismo de dos estados es una de las técnicas matemáticas más sencillas que se utilizan para el análisis de sistemas cuánticos. Puede utilizarse para ilustrar fenómenos mecánicos cuánticos fundamentales, como la interferencia que presentan las partículas de los estados de polarización del fotón ^[4] , pero también fenómenos más complejos, como la oscilación de los neutrinos o la oscilación neutra del mesón K.

El formalismo de dos estados se puede utilizar para describir la mezcla simple de estados, que conduce a fenómenos como la estabilización por resonancia y otras simetrías relacionadas con el cruce de niveles . Dichos fenómenos tienen una amplia variedad de aplicaciones en química. Los fenómenos con enormes aplicaciones industriales, como el máser y el láser, se pueden explicar utilizando el formalismo de dos estados.

El formalismo de dos estados también constituye la base de la computación cuántica . Los qubits , que son los componentes básicos de una computadora cuántica, no son otra cosa que sistemas de dos estados. Cualquier operación computacional cuántica es una operación unitaria que hace girar el vector de estado en la esfera de Bloch.

Lectura adicional

• Un tratamiento del formalismo de dos estados, presentado en el tercer volumen de The Feynman Lectures on Physics .
• Notas de la conferencia:
• del curso de Mecánica cuántica II ofrecido en el MIT , http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
  • del mismo curso que trata sobre la oscilación de partículas neutras, http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
  • Del curso de Mecánica cuántica I ofrecido en TIFR , http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand4.pdf, se cubren las matemáticas esenciales.
  • http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf; del mismo curso se tratan algunos sistemas físicos de dos estados y otros aspectos importantes del formalismo.
  • La matemática en la sección inicial se realiza de manera similar a estas notas http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf, que son del curso de Mecánica Cuántica para Matemáticos que se ofrece en la Universidad de Columbia.
  • una versión en libro del mismo; http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
  • Sistemas de dos estados y la biesfera, RJ Plymen, Il Nuovo Cimento B 13 (1973), pp. 55–58

Véase también

• Ciclo de Rabi
• Doblete
• Resonancia magnética nuclear
• Óptica cuántica
• Cubit

Referencias

1. Griffiths, David (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.). pág. 353.
2. Feynman, RP (1965). "7-5 y 10-7". Las conferencias Feynman sobre física: volumen 3. Addison Wesley.
3. Griffiths, pág. 377.
4. Feynman, RP (1965). "11-4". Las conferencias Feynman sobre física: volumen 3. Addison Wesley.