Dodecaedro truncado

Sólido de Arquímedes con 32 caras.

En geometría , el dodecaedro truncado es un sólido de Arquímedes . Tiene 12 caras decagonales regulares , 20 caras triangulares regulares , 60 vértices y 90 aristas.

Construcción

El dodecaedro truncado se construye a partir de un dodecaedro regular cortando todos sus vértices, proceso conocido como truncamiento . Este proceso de construcción da como resultado que las caras pentagonales se conviertan en caras decagonales y los vértices en triángulos . Por tanto, tiene 32 caras, 90 aristas y 60 vértices. ^[1]

El dodecaedro truncado también se puede construir utilizando coordenadas cartesianas . Con una longitud de borde centrada en el origen, todas son permutaciones pares de dónde está la proporción áurea . ^[2] ${\displaystyle 2\varphi -2}$ $${\displaystyle \left(0,\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm (2+\varphi )\right),\qquad \left(\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi ,\pm 2\varphi \right),\qquad \left(\pm \varphi ,\pm 2,\pm (\varphi +1)\right),}$$ ${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Propiedades

El área de superficie y el volumen de un dodecaedro truncado de longitud de arista son: ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&&\approx 100.991a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}&&\approx 85.040a^{3}\end{aligned}}}$$

El ángulo diédrico de un dodecaedro truncado entre dos caras dodecaédricas regulares es de 116,57°, y el ángulo entre triángulo y dodecaedro es de 142,62°.

Modelo 3D de un dodecaedro truncado

El dodecaedro truncado es un sólido de Arquímedes , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. ^[3] Tiene la misma simetría que el icosaedro regular, la simetría icosaédrica . ^[4] Las caras poligonales que se encuentran para cada vértice son un triángulo equilátero y dos decágonos regulares, y la figura del vértice de un dodecaedro truncado es . El dual de un dodecaedro truncado es triakis icosaedro , un sólido catalán , ^[5] que comparte la misma simetría que el dodecaedro truncado. ^[6] ${\displaystyle 3\cdot 10^{2}}$

El dodecaedro truncado no es quiral , lo que significa que es congruente con su propia imagen especular. ^[4]

Gráfico dodecaédrico truncado

La gráfica de un dodecaedro truncado.

En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico dodecaédrico truncado es el gráfico de vértices y aristas del dodecaedro truncado , uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 60 vértices y 90 aristas, y es un gráfico de Arquímedes cúbico . ^[7]

Referencias

1. Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.Véase en particular la página 336.
2. Weisstein, Eric W. "Grupo icosaédrico". MundoMatemático .
3. Diudea, MV (2018). Cúmulos poliédricos de múltiples capas. Saltador . pag. 39.doi :10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN 978-3-319-64123-2.
4. Koca, M.; Koca, NO (2013). "Grupos Coxeter, cuaterniones, simetrías de poliedros y politopos 4D". Física matemática: Actas de la 13.ª Conferencia Regional, Antalya, Turquía, 27 a 31 de octubre de 2010 . Científico mundial. pag. 48.
5. Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño. Publicaciones de Dover, Inc. pág. 88.
6. Holden, Alan (1991). Formas, espacio y simetría. Libros de Dover sobre matemáticas. Corporación de mensajería. pag. 52.ISBN​ 9780486268514.
7. Leer, RC; Wilson, RJ (1998). Un atlas de gráficos . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 269.

Otras lecturas

• Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. Págs. 79–86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Dodecaedro truncado" ("Sólido de Arquímedes") en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Gráfico dodecaédrico truncado". MundoMatemático .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D o3x5x - tid".
• Red imprimible editable de un dodecaedro truncado con vista 3D interactiva