Truco de réplica

Límite matemático aplicado en física estadística

En la física estadística de los vidrios de espín y otros sistemas con desorden apagado , el truco de la réplica es una técnica matemática basada en la aplicación de la fórmula: o: donde es más comúnmente la función de partición , o una función termodinámica similar. $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{Z^{n}-1 \over n}}$$ $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\frac {\partial Z^{n}}{\partial n}}}$$ ${\displaystyle Z}$

Se utiliza normalmente para simplificar el cálculo de , el valor esperado de , reduciendo el problema al cálculo del promedio del desorden , donde se supone que es un número entero. Esto es físicamente equivalente a promediar sobre copias o réplicas del sistema, de ahí el nombre. ${\displaystyle {\overline {\ln Z}}}$ ${\displaystyle \ln Z}$ ${\displaystyle {\overline {Z^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

El quid de la cuestión del truco de la réplica es que, si bien el promedio del desorden se realiza suponiendo que es un entero, para recuperar el logaritmo promediado por desorden se debe enviar continuamente a cero. Esta aparente contradicción en el corazón del truco de la réplica nunca se ha resuelto formalmente, sin embargo, en todos los casos en que el método de la réplica se puede comparar con otras soluciones exactas, los métodos conducen a los mismos resultados. (Una prueba natural y rigurosa de que el truco de la réplica funciona sería comprobar que se cumplen los supuestos del teorema de Carlson , especialmente que la relación es de tipo exponencial menor que π ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (Z^{n}-1)/n}$

Ocasionalmente es necesario requerir la propiedad adicional de ruptura de simetría de réplica (RSB) para obtener resultados físicos, que está asociada con la ruptura de la ergodicidad .

Formulación general

Generalmente se utiliza para cálculos que involucran funciones analíticas (se puede expandir en series de potencias).

Expandir usando su serie de potencias : en potencias de o, en otras palabras, réplicas de , y realizar el mismo cálculo que se debe hacer en , usando las potencias de . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z}$

Un caso particular que es de gran utilidad en física es el de promediar la energía libre termodinámica ,

${\displaystyle F=-k_{\rm {B}}T\ln Z[J_{ij}],}$

sobre valores con una determinada distribución de probabilidad, típicamente gaussiana. ^[1] ${\displaystyle J_{ij}}$

La función de partición viene dada entonces por

${\displaystyle Z[J_{ij}]\sim e^{-\beta J_{ij}}.}$

Nótese que si estuviéramos calculando simplemente (o más generalmente, cualquier potencia de ) y no su logaritmo que queríamos promediar, la integral resultante (asumiendo una distribución gaussiana) es simplemente ${\displaystyle Z[J_{ij}]}$ ${\displaystyle J_{ij}}$

${\displaystyle \int dJ_{ij}\,e^{-\beta J-\alpha J^{2}},}$

una integral gaussiana estándar que se puede calcular fácilmente (por ejemplo, completando el cuadrado).

Para calcular la energía libre, utilizamos el truco de la réplica: que reduce la complicada tarea de promediar el logaritmo a resolver una integral gaussiana relativamente simple, siempre que sea un número entero. ^[2] El truco de la réplica postula que si se puede calcular para todos los números enteros positivos , entonces esto puede ser suficiente para permitir que se calcule el comportamiento limitante. $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\to 0}$

Es claro que un argumento de este tipo plantea muchas cuestiones matemáticas y el formalismo resultante para calcular el límite suele introducir muchas sutilezas. ^[3] ${\displaystyle n\to 0}$

Al utilizar la teoría del campo medio para realizar cálculos, tomar este límite a menudo requiere introducir parámetros de orden adicionales, una propiedad conocida como "ruptura de simetría de réplica", que está estrechamente relacionada con la ruptura de la ergodicidad y la dinámica lenta dentro de los sistemas desordenados.

Aplicaciones físicas

El truco de la réplica se utiliza para determinar estados fundamentales de sistemas mecánicos estadísticos, en la aproximación de campo medio . Normalmente, para sistemas en los que la determinación del estado fundamental es fácil, se pueden analizar fluctuaciones cerca del estado fundamental. De lo contrario, se utiliza el método de la réplica. ^{[artículos sobre vidrios de espín 1]} Un ejemplo es el caso de un desorden extinguido en un sistema como un vidrio de espín con diferentes tipos de enlaces magnéticos entre espines, lo que lleva a muchas configuraciones diferentes de espines que tienen la misma energía.

En la física estadística de sistemas con desorden extinguido, dos estados cualesquiera con la misma realización del desorden (o en el caso de los vidrios de espín, con la misma distribución de enlaces ferromagnéticos y antiferromagnéticos) se denominan réplicas entre sí. ^{[documentos sobre vidrios de espín 2]} Para los sistemas con desorden extinguido, normalmente se espera que las cantidades macroscópicas se autopromedien , por lo que cualquier cantidad macroscópica para una realización específica del desorden será indistinguible de la misma cantidad calculada promediando sobre todas las posibles realizaciones del desorden. La introducción de réplicas permite realizar este promedio sobre diferentes realizaciones de desorden.

En el caso de un vidrio de espín, esperamos que la energía libre por espín (o cualquier cantidad autopromediada) en el límite termodinámico sea independiente de los valores particulares de los acoplamientos ferromagnéticos y antiferromagnéticos entre sitios individuales, a lo largo de la red. Por lo tanto, encontramos explícitamente la energía libre como una función del parámetro de desorden (en este caso, los parámetros de la distribución de los enlaces ferromagnéticos y antiferromagnéticos) y promediamos la energía libre sobre todas las realizaciones del desorden (todos los valores del acoplamiento entre sitios, cada uno con su probabilidad correspondiente, dada por la función de distribución). Como la energía libre toma la forma:

${\displaystyle F={\overline {F[J_{ij}]}}=-k_{B}T\,{\overline {\ln Z[J]}}}$

donde describe el desorden (para los vidrios de espín, describe la naturaleza de la interacción magnética entre cada uno de los sitios individuales y ) y tomamos el promedio sobre todos los valores de los acoplamientos descritos en , ponderados con una distribución dada. Para realizar el promedio sobre la función logarítmica, el truco de la réplica resulta útil, al reemplazar el logaritmo con su forma límite mencionada anteriormente. En este caso, la cantidad representa la función de partición conjunta de sistemas idénticos. ${\displaystyle J_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Z^{n}}$ ${\displaystyle n}$

REM: el problema de réplica más fácil

El modelo de energía aleatoria (REM) es uno de los modelos más simples de mecánica estadística de sistemas desordenados y probablemente el modelo más simple para mostrar el significado y el poder del truco de la réplica hasta el nivel 1 de ruptura de la simetría de la réplica. El modelo es especialmente adecuado para esta introducción porque se conoce un resultado exacto mediante un procedimiento diferente y se puede demostrar que el truco de la réplica funciona mediante la verificación cruzada de los resultados.

Métodos alternativos

El método de cavidad es un método alternativo, a menudo de uso más sencillo que el método de réplica, para estudiar problemas de campo medio desordenado. Se ha ideado para tratar modelos en grafos locales tipo árbol .

Otro método alternativo es el método supersimétrico . El uso del método de supersimetría proporciona una alternativa matemáticamente rigurosa al truco de la réplica, pero sólo en sistemas que no interactúan. Véase, por ejemplo, el libro: ^{[other approachs 1]}

Además, se ha demostrado ^{[otros enfoques 2]} que el formalismo de Keldysh proporciona una alternativa viable al enfoque de la réplica.

Observaciones

La primera de las identidades anteriores se entiende fácilmente a través de la expansión de Taylor :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {e^{n\ln Z}-1}{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {n\ln Z+{1 \over 2!}(n\ln Z)^{2}+\cdots }{n}}\\&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

Para la segunda identidad, simplemente se utiliza la definición de la derivada.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial Z^{n}}{\partial n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial e^{n\ln Z}}{\partial n}}\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}Z^{n}\ln Z\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}(1+n\ln Z+\cdots )\ln Z\\[5pt]&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

Referencias

• S. Edwards (1971), "Mecánica estadística del caucho". En Redes de polímeros: propiedades estructurales y mecánicas (eds. AJ Chompff y S. Newman). Nueva York: Plenum Press, ISBN 978-1-4757-6210-5.
• Mézard, Marc; Parisi, Giorgio; Virasoro, Miguel Ángel (1987). La teoría del vidrio de espín y más allá: una introducción al método de réplica y sus aplicaciones . Apuntes de conferencias de World Scientific sobre física. Teaneck, NJ, EE. UU.: World Scientific. ISBN 978-9971-5-0116-7.
• Charbonneau, Patrick (3 de noviembre de 2022). "Del truco de la réplica a la técnica de ruptura de la simetría de la réplica". arXiv : 2211.01802 [physics.hist-ph].

Documentos sobre vidrios de espín

1. Parisi, Giorgio (17 de enero de 1997). "Sobre el enfoque de réplica para los vidrios de espín". {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
2. Tommaso Castellani, Andrea Cavagna (mayo de 2005). "Teoría del vidrio de espín para peatones". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2005 (5): P05012. arXiv : cond-mat/0505032 . Bibcode :2005JSMTE..05..012C. doi :10.1088/1742-5468/2005/05/P05012. S2CID  118903982.

Libros sobre vidrios de espín

Referencias a otros enfoques

1. Supersimetría en el desorden y el caos , Konstantin Efetov, Cambridge University Press, 1997.
2. A. Kamenev y A. Andreev, cond-mat/9810191; C. Chamon, AWW Ludwig y C. Nayak, cond-mat/9810282.

1. Nishimori, Hidetoshi (2001). Física estadística de vidrios de espín y procesamiento de información: una introducción . Oxford [ua]: Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-850940-5. Véase la página 13, Capítulo 2.
2. Hertz, John (marzo-abril de 1998). "Física del vidrio espín". {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
3. Mezard, M; Parisi, G; Virasoro, M (1986-11-01). Teoría del vidrio de espín y más allá . Notas de conferencias científicas mundiales sobre física. Vol. 9. WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/0271. ISBN 9789971501167.