Tricornio (matemáticas)

Conjunto de Mandelbar

Un tricornio, creado en una computadora en Kalles Fraktaler .

Zoom de tricornio sobre mini-tricornio

Multicornios con potencia que va del 1 al 5

En matemáticas , el tricornio , a veces llamado conjunto de Mandelbar , es un fractal definido de manera similar al conjunto de Mandelbrot , pero utilizando la función en lugar de la utilizada para el conjunto de Mandelbrot. Fue introducido por WD Crowe, R. Hasson, PJ Rippon y PED Strain-Clark. ^[1] John Milnor encontró conjuntos similares a tricornios como una configuración prototípica en el espacio de parámetros de polinomios cúbicos reales y en varias otras familias de funciones racionales. ^[2] ${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{2}+c}$

La característica forma de tres ángulos creada por este fractal se repite con variaciones a diferentes escalas, mostrando el mismo tipo de autosimilitud que el conjunto de Mandelbrot. Además de los tricornios más pequeños, el fractal de tricornios también contiene versiones más pequeñas del conjunto de Mandelbrot.

Definición formal

El tricornio se define por una familia de polinomios antiholomorfos cuadráticos ${\displaystyle T}$

${\displaystyle f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

dado por

${\displaystyle f_{c}:z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c,}$

donde es un parámetro complejo. Para cada , se observa la órbita hacia adelante ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}$

del punto crítico del polinomio antiholomorfo . En analogía con el conjunto de Mandelbrot , el tricornio se define como el conjunto de todos los parámetros para los cuales la órbita hacia delante del punto crítico está acotada. Esto es equivalente a decir que el tricornio es el lugar geométrico de conexidad de la familia de polinomios antiholomorfos cuadráticos; es decir, el conjunto de todos los parámetros para los cuales el conjunto de Julia está conexo. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle J(f_{c})}$

Los análogos de grado superior del tricornio se conocen como multicornios. ^[3] Estos son los lugares de conectividad de la familia de polinomios antiholomorfos . ${\displaystyle f_{c}:z\mapsto {\bar {z}}^{d}+c}$

Propiedades básicas

• El tricornio es compacto y conexo . ^[4] De hecho, Nakane modificó la prueba de Douady y Hubbard de la conexidad del conjunto de Mandelbrot para construir un difeomorfismo real-analítico definido dinámicamente desde el exterior del tricornio hacia el exterior del disco unitario cerrado en el plano complejo . Se pueden definir los rayos de parámetros externos del tricornio como las imágenes inversas de las líneas radiales bajo este difeomorfismo.
• Cada componente hiperbólico del tricornio está simplemente conexo . ^[3]
• El límite de cada componente hiperbólico de período impar del tricornio contiene arcos analíticos reales que consisten en parámetros parabólicos cuasi-conformemente equivalentes pero conformemente distintos. ^{[5] [6]} Un arco de este tipo se llama arco parabólico del tricornio. Esto está en marcado contraste con la situación correspondiente para el conjunto de Mandelbrot, donde se sabe que los parámetros parabólicos de un período dado están aislados.
• El límite de cada componente hiperbólico de período impar consiste únicamente en parámetros parabólicos. Más precisamente, el límite de cada componente hiperbólico de período impar del tricornio es una curva cerrada simple que consiste exactamente en tres puntos de cúspide parabólicos, así como tres arcos parabólicos, cada uno de los cuales conecta dos cúspides parabólicas. ^[6]
• Todo arco parabólico de período k tiene, en ambos extremos, un intervalo de longitud positiva a través del cual se produce la bifurcación de un componente hiperbólico de período impar k a un componente hiperbólico de período 2k.

Galería de imágenes de varios zooms

Al igual que el conjunto de Mandelbrot , el tricornio tiene muchos diseños complejos e intrincados. Debido a su similitud, comparten muchas características. Sin embargo, en el tricornio dichas características parecen estar comprimidas y estiradas a lo largo de su borde.

Las siguientes imágenes son zoom progresivos sobre un valor seleccionado donde . Las imágenes no están estiradas ni alteradas, así es como se ven cuando se amplían. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=0.48+0.58i}$

• 
  Iniciando el zoom. El Tricornio en su conjunto.
• 
  Seis veces el zoom original. Muchas "extrusiones" o "caballitos de mar" a lo largo de la "cabeza" superior convergen hacia el "cuello". El nombre apropiado es "valle de convergencia de los caballitos de mar".
• 
  Ampliación 20 veces superior a la original. Vista más cercana de un lado del "valle". Los "caballitos de mar" empiezan a tomar forma, parecen estar distorsionados con respecto a los "caballitos de mar" originales a lo largo del límite de Mandelbrots.
• 
  Ampliación 40 veces mayor que la original. El "caballito de mar" se puede ver ahora en su totalidad.

Implementación

La siguiente implementación de pseudocódigo codifica las operaciones complejas para Z. Considere implementar operaciones de números complejos para permitir un código más dinámico y reutilizable.

Para cada píxel (x, y) de la pantalla, haga lo siguiente:{ x = coordenada x escalada del píxel (escalada para estar en la escala X de Mandelbrot (-2,5, 1)) y = coordenada y escalada del píxel (escalada para ubicarse en la escala Y de Mandelbrot (-1, 1))   zx = x; // zx representa la parte real de z zy = y; // zy representa la parte imaginaria de z  iteración = 0 iteración máxima = 1000  mientras (zx*zx + zy*zy < 4 Y iteración < máx_iteración) { xtemp = zx*zx - zy*zy + x zy = -2*zx*zy + y zx = xtemp iteración = iteración + 1 } if (iteration == max_iteration) //Pertenece al conjunto devuelve interiorColor; retorna iteración * color;}

Otras propiedades topológicas

El tricornio no está conectado por caminos. ^[5] Hubbard y Schleicher demostraron que existen componentes hiperbólicos de período impar del tricornio que no pueden conectarse por caminos con el componente hiperbólico de período uno. Inou y Mukherjee demostraron una afirmación más contundente en el sentido de que no es posible conectar por caminos dos componentes hiperbólicos (no reales) de período impar del tricornio. ^[7]

Es bien sabido que cada rayo de parámetro racional del conjunto de Mandelbrot cae en un único parámetro. ^{[8] [9]} Por otra parte, los rayos de parámetros racionales en ángulos impares-periódicos (excepto el período uno) del tricornio se acumulan en arcos de longitud positiva que consisten en parámetros parabólicos. ^[10] Además, a diferencia del conjunto de Mandelbrot, el mapa de enderezamiento dinámicamente natural de un tricornio bebé al tricornio original es discontinuo en infinitos parámetros. ^[7]

Referencias

1. Crowe, WD; Hasson, R.; Rippon, PJ; Strain-Clark, PED (1 de enero de 1989). "Sobre la estructura del conjunto de Mandelbar". No linealidad . 2 (4): 541. Bibcode :1989Nonli...2..541C. doi :10.1088/0951-7715/2/4/003. S2CID  250790435.
2. Milnor, John (1 de enero de 1992). «Observaciones sobre mapas cúbicos iterados». Experimental Mathematics . 1 (1): 5–24 . Consultado el 6 de mayo de 2017 – a través de Project Euclid.
3. Nakane, Shizuo; Schleicher, Dierk (1 de octubre de 2003). "Sobre multicornios y unicornios i: dinámica antiholomórfica, componentes hiperbólicas y polinomios cúbicos reales". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 13 (10): 2825–2844. Bibcode :2003IJBC...13.2825N. CiteSeerX 10.1.1.32.4046 . doi :10.1142/S0218127403008259. 
4. Nakane, Shizuo (1 de junio de 1993). "Conectividad del tricornio". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 13 (2): 349–356. doi :10.1017/S0143385700007409. S2CID  123629440 . Consultado el 6 de mayo de 2017 .
5. "Los multicornios no están conectados por caminos" (PDF) . Math.cornell.edu . Consultado el 6 de mayo de 2017 .
6. Mukherjee, Sabyasachi; Nakane, Shizuo; Schleicher, Dierk (1 de mayo de 2017). "Sobre multicornios y unicornios II: bifurcaciones en espacios de polinomios antiholomórficos". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 37 (3): 859–899. arXiv : 1404.5031 . doi :10.1017/etds.2015.65. S2CID  119524999.
7. Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2021). "Discontinuidad del enderezamiento en dinámica antiholomórfica: I". Transacciones de la American Mathematical Society . 374 (9): 6445–6481. arXiv : 1605.08061v5 . doi :10.1090/tran/8381. S2CID  53514019.
8. Goldberg, Lisa R.; Milnor, Juan (1993). "Puntos fijos de mapas polinomiales. Parte II. Retratos de puntos fijos". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 (1): 51–98. doi : 10.24033/asens.1667 . Consultado el 6 de mayo de 2017 .
9. Milnor, John W (1999). "Órbitas periódicas, rayos externos y el conjunto de Mandelbrot: una explicación expositiva". arXiv : math/9905169 .
10. Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2015). "Rayos de parámetros de no aterrizaje de los multicorns". Invenciones Mathematicae . 204 (3): 869–893. arXiv : 1406.3428 . Código Bib :2016InMat.204..869I. doi :10.1007/s00222-015-0627-3. S2CID  119633694.