Control de acceso principal

Conjetura refutada de topología geométrica

La Hauptvermutung ^[a] de la topología geométrica es una conjetura ahora refutada que pregunta si dos triangulaciones de un espacio triangulable tienen subdivisiones que sean combinatoriamente equivalentes, es decir, las triangulaciones subdivididas se construyen en el mismo patrón combinatorio. Fue formulada originalmente como una conjetura en 1908 por Ernst Steinitz ^[1] y Heinrich Franz Friedrich Tietze ^[2] , pero ahora se sabe que es falsa.

Historia

La versión no múltiple fue refutada por John Milnor en 1961 utilizando la torsión de Reidemeister . ^[3]

La versión de variedades es verdadera en dimensiones . Los casos y fueron demostrados por Tibor Radó y Edwin E. Moise en los años 1920 y 1950, respectivamente. ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle m\leq 3}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle 3}$

Andrew Casson y Dennis Sullivan formularon una obstrucción a la versión múltiple en 1967-69 (originalmente en el caso simplemente conexo ), utilizando el invariante de Rochlin y el grupo de cohomología . ${\displaystyle H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

En dimensión , un homeomorfismo de variedades lineales por partes de dimensión m tiene un invariante tal que es isotópico a un homeomorfismo lineal por partes (PL) si y solo si . En el caso simplemente conexo y con , es homotópico a un homeomorfismo PL si y solo si . ${\displaystyle m\geq 5}$ ${\displaystyle f\colon N\to M}$ ${\displaystyle \kappa (f)\in H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \kappa (f)=0}$ ${\displaystyle m\geq 5}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [\kappa (f)]=0\in [M,G/{\rm {PL}}]}$

Esta cantidad se considera ahora como una versión relativa de la obstrucción de triangulación de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann , obtenida en 1970. La obstrucción de Kirby-Siebenmann se define para cualquier variedad topológica compacta de dimensión m M ${\displaystyle \kappa (f)}$

${\displaystyle \kappa (M)\in H^{4}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

nuevamente utilizando el invariante de Rochlin. Para , la variedad M tiene una estructura PL (es decir, puede ser triangulada por una variedad PL) si y solo si , y si esta obstrucción es 0, las estructuras PL están parametrizadas por . En particular, solo hay un número finito de estructuras PL esencialmente distintas en M . ${\displaystyle m\geq 5}$ ${\displaystyle \kappa (M)=0}$ ${\displaystyle H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

Para variedades compactas simplemente conexas de dimensión 4, Simon Donaldson encontró ejemplos con un número infinito de estructuras PL no equivalentes, y Michael Freedman encontró la variedad E8 que no sólo no tiene estructura PL, sino que (por trabajo de Casson) ni siquiera es homeomorfa a un complejo simplicial . ^[7]

En 2013, Ciprian Manolescu demostró que existen variedades topológicas compactas de dimensión 5 (y, por lo tanto, de cualquier dimensión mayor que 5) que no son homeomorfas a un complejo simplicial. ^[8] Así, el ejemplo de Casson ilustra un fenómeno más general que no se limita meramente a la dimensión 4.

Notas

1. Conjetura principal en alemán . Es una abreviatura de die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie , que se traduce como la conjetura principal de la topología combinatoria .

Referencias

1. Steinitz, E. (1908). "Beiträge zur Analysis situs". Sitz-Ber. Matemáticas de Berlín. Ges . 7 : 29–49.
2. Tietze, H. (1908). "Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten". Monatsh. Para matemáticas. Y Phys . 19 : 1–118. doi :10.1007/BF01736688. S2CID  120998023.
3. Milnor, John W. (1961). "Dos complejos que son homeomorfos pero combinatoriamente distintos". Anales de Matemáticas . 74 (2): 575–590. doi :10.2307/1970299. JSTOR  1970299. MR  0133127.
4. Radó, Tibor (1925). "Über den Begriff der Riemannschen Fläche". Acta Scientarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis . 2 (1): 96-114. JFM  51.0273.01.
5. Moise, Edwin E. (1952). "Estructuras afines en 3-variedades. V. El teorema de triangulación y Hauptvermutung". Anales de Matemáticas . 56 (2): 101–121. doi :10.2307/1969769. JSTOR  1969769.
6. Moise, Edwin E. (1977). Topología geométrica en dimensiones 2 y 3. Springer. ISBN 978-0-387-90220-3.
7. Akbulut, Selman ; McCarthy, John D. (1990). Invariante de Casson para 3-esferas de homología orientada . Princeton University Press . ISBN 0-691-08563-3.Señor 1030042  .
8. Manolescu, Ciprian (2016) [2015]. "Homología de Seiberg–Witten Floer Pin(2)-equivariante y la conjetura de triangulación". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . doi :10.1090/jams829. S2CID  16403004.

Enlaces externos

• Ranicki, Andrés. "Triangulación y Hauptvermutung". Universidad de Edimburgo.Material adicional, incluidas fuentes originales
• Rudyak, Yuli (2016). Estructuras lineales por partes en variedades topológicas. arXiv : math/0105047 . doi :10.1142/9887. ISBN 978-981-4733-78-6. Número de identificación del sujeto  16750789.
• Ranicki, Andrés , ed. (30 de septiembre de 1996). El libro Hauptvermutung (PDF) . Saltador. ISBN 0-7923-4174-0.
• Ranicki, Andrew. "Variedades de alta dimensión, entonces y ahora" (PDF) .