Función trascendental

Analytic function that does not satisfy a polynomial equation

En matemáticas , una función trascendental es una función analítica que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son funciones de la variable independiente que se pueden escribir utilizando las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. Esto contrasta con una función algebraica . ^{[1] [2]}

Entre los ejemplos de funciones trascendentales se incluyen la función exponencial , el logaritmo y las funciones trigonométricas . Las ecuaciones sobre estas expresiones se denominan ecuaciones trascendentales .

Definición

Formalmente, una función analítica f ( z ) de una variable real o compleja z es trascendental si es algebraicamente independiente de esa variable. ^[3] Esto significa que la función no satisface una ecuación polinómica. Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$

no es trascendental sino algebraica, porque satisface la ecuación polinómica

${\displaystyle (ax+b)-(cx+d)f(x)=0.}$

De manera similar, la función que satisface la ecuación ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)=x}$

no es trascendental, sino algebraica, aunque no puede escribirse como una expresión finita que involucre las operaciones aritméticas básicas.

Esto puede extenderse a funciones de varias variables .

Historia

Las funciones trascendentales seno y coseno se tabulaban a partir de mediciones físicas en la antigüedad, como se evidencia en Grecia ( Hiparchus ) y la India ( jya y koti-jya ). Al describir la tabla de cuerdas de Ptolomeo , un equivalente a una tabla de senos, Olaf Pedersen escribió:

La noción matemática de continuidad como concepto explícito es desconocida para Ptolomeo. El hecho de que, de hecho, tratara estas funciones como continuas se desprende de su presunción tácita de que es posible determinar un valor de la variable dependiente correspondiente a cualquier valor de la variable independiente mediante el simple proceso de interpolación lineal . ^[4]

En el siglo XVII se produjo una comprensión revolucionaria de estas funciones circulares , que Leonhard Euler explicó en 1748 en su Introducción al análisis del infinito . Estas antiguas funciones trascendentales se conocieron como funciones continuas a través de la cuadratura de la hipérbola rectangular xy = 1, obra de Grégoire de Saint-Vincent en 1647, dos milenios después de que Arquímedes hubiera producido La cuadratura de la parábola .

Se demostró que el área bajo la hipérbola tiene la propiedad de escala de área constante para una relación constante de límites. La función logaritmo hiperbólico así descrita fue de utilidad limitada hasta 1748, cuando Leonhard Euler la relacionó con funciones donde una constante se eleva a un exponente variable, como la función exponencial donde la base constante es e . Al introducir estas funciones trascendentales y observar la propiedad de biyección que implica una función inversa , se proporcionó cierta facilidad para las manipulaciones algebraicas del logaritmo natural incluso si no es una función algebraica.

La función exponencial se escribe . Euler la identificó con la serie infinita , donde k ! denota el factorial de k . ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$

Los términos pares e impares de esta serie proporcionan sumas que denotan cosh( x ) y sinh( x ) , de modo que Estas funciones hiperbólicas trascendentales se pueden convertir en funciones circulares seno y coseno introduciendo (−1) ^k en la serie, lo que da como resultado series alternadas . Después de Euler, los matemáticos ven el seno y el coseno de esta manera para relacionar la trascendencia con las funciones logarítmicas y exponenciales, a menudo a través de la fórmula de Euler en aritmética de números complejos . ${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x.}$

Ejemplos

Sea c una constante positiva. Las siguientes funciones son trascendentales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=c^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=x^{x}\\f_{4}(x)&=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}\\[2pt]f_{5}(x)&=\log _{c}x\\[2pt]f_{6}(x)&=\sin {x}\end{aligned}}}$$

Para la segunda función , si igualamos a , la base del logaritmo natural , entonces obtenemos que es una función trascendental. De manera similar, si igualamos a en , entonces obtenemos que (es decir, el logaritmo natural ) es una función trascendental. ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f_{5}(x)}$ ${\displaystyle f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x}$

Funciones algebraicas y trascendentales

Las funciones trascendentales más conocidas son las funciones logarítmicas , exponenciales (con cualquier base no trivial), trigonométricas e hiperbólicas , y las inversas de todas ellas. Menos conocidas son las funciones especiales de análisis , como las funciones gamma , elíptica y zeta , todas ellas trascendentales. Las funciones hipergeométricas generalizadas y las funciones de Bessel son trascendentales en general, pero algebraicas para algunos valores de parámetros especiales.

Una función que no es trascendental es algebraica . Ejemplos simples de funciones algebraicas son las funciones racionales y la función raíz cuadrada , pero en general, las funciones algebraicas no pueden definirse como fórmulas finitas de las funciones elementales, como lo demuestra el ejemplo anterior con (ver el teorema de Abel–Ruffini ). ${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)=x}$

La integral indefinida de muchas funciones algebraicas es trascendental. Por ejemplo, la función logaritmo surgió de la función recíproca en un intento de hallar el área de un sector hiperbólico .

El álgebra diferencial examina cómo la integración con frecuencia crea funciones que son algebraicamente independientes de alguna clase, como cuando se toman polinomios con funciones trigonométricas como variables.

Funciones trascendentalmente trascendentales

La mayoría de las funciones trascendentales conocidas, incluidas las funciones especiales de la física matemática, son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas . Las que no lo son, como las funciones gamma y zeta , se denominan funciones trascendentales o hipertrascendentales ^{. [5]}

Conjunto excepcional

Si f es una función algebraica y es un número algebraico entonces f ( α ) es también un número algebraico. La inversa no es cierta: existen funciones trascendentales f enteras tales que f ( α ) es un número algebraico para cualquier α algebraico . ^[6] Para una función trascendental dada el conjunto de números algebraicos que dan resultados algebraicos se denomina el conjunto excepcional de esa función. ^{[7] [8]} Formalmente se define por: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\}.}$$

En muchos casos, el conjunto excepcional es bastante pequeño. Por ejemplo, Lindemann demostró esto en 1882. En particular , exp(1) = e es trascendental. Además, como exp( iπ ) = −1 es algebraico, sabemos que iπ no puede ser algebraico. Como i es algebraico, esto implica que π es un número trascendental . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},}$

En general, encontrar el conjunto excepcional de una función es un problema difícil, pero si se puede calcular, a menudo puede conducir a resultados en la teoría de números trascendentales . A continuación se muestran otros conjuntos excepcionales conocidos:

• Invariante j de Klein donde ⁠ ⁠ es el semiplano superior y ⁠ ⁠ es el grado del cuerpo numérico ⁠ ⁠ Este resultado se debe a Theodor Schneider . ^[9] $${\displaystyle {\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in {\mathcal {H}}\,:\,[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]=2\right\},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ).}$
• Función exponencial en base 2: Este resultado es un corolario del teorema de Gelfond–Schneider , que establece que si es algebraica, y es algebraica e irracional entonces es trascendental. Así, la función 2 ^x podría sustituirse por c ^x para cualquier c algebraica distinta de 0 o 1. En efecto, tenemos: $${\displaystyle {\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbb {Q} ,}$$ ${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbb {Q} \setminus \{0\}.}$$
• Una consecuencia de la conjetura de Schanuel en la teoría de números trascendentales sería que ${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset .}$
• Una función con un conjunto excepcional vacío que no requiere asumir la conjetura de Schanuel es ${\displaystyle f(x)=\exp(1+\pi x).}$

Aunque calcular el conjunto excepcional para una función dada no es fácil, se sabe que dado cualquier subconjunto de los números algebraicos, digamos A , existe una función trascendental cuyo conjunto excepcional es A . ^[10] El subconjunto no necesita ser propio, lo que significa que A puede ser el conjunto de números algebraicos. Esto implica directamente que existen funciones trascendentales que producen números trascendentales solo cuando se dan números trascendentales. Alex Wilkie también demostró que existen funciones trascendentales para las cuales no existen pruebas de lógica de primer orden sobre su trascendencia al proporcionar una función analítica ejemplar . ^[11]

Análisis dimensional

En el análisis dimensional , las funciones trascendentales son notables porque solo tienen sentido cuando su argumento es adimensional (posiblemente después de una reducción algebraica). Debido a esto, las funciones trascendentales pueden ser una fuente fácil de detectar de errores dimensionales. Por ejemplo, log(5 metros) es una expresión sin sentido, a diferencia de log(5 metros / 3 metros) o log(3) metros . Se podría intentar aplicar una identidad logarítmica para obtener log(5) + log(metros) , lo que resalta el problema: aplicar una operación no algebraica a una dimensión crea resultados sin sentido.

Véase también

• Función compleja
• Función (matemáticas)
• Función generalizada
• Lista de funciones especiales y epónimos
• Lista de tipos de funciones
• Función racional
• Funciones especiales

Referencias

1. Townsend, EJ (1915). Funciones de una variable compleja . H. Holt. pág. 300. OCLC  608083625.
2. Hazewinkel, Michiel (1993). Enciclopedia de Matemáticas . vol. 9. págs.236.
3. Waldschmidt, M. (2000). Aproximación diofántica en grupos algebraicos lineales. Springer. ISBN 978-3-662-11569-5.
4. Pedersen, Olaf (1974). Encuesta del Almagesto . Prensa de la Universidad de Odense . pag. 84.ISBN​ 87-7492-087-1.
5. Rubel, Lee A. (noviembre de 1989). "Un estudio de funciones trascendentales trascendentales". The American Mathematical Monthly . 96 (9): 777–788. doi :10.1080/00029890.1989.11972282. JSTOR  2324840.
6. van der Poorten, AJ (1968). "Funciones enteras trascendentales que mapean cada cuerpo numérico algebraico en sí mismo". J. Austral. Math. Soc . 8 (2): 192–8. doi : 10.1017/S144678870000522X . S2CID  121788380.
7. Marques, D.; Lima, FMS (2010). "Algunas funciones trascendentales que producen valores trascendentales para cada entrada algebraica". arXiv : 1004.1668v1 [math.NT].
8. Archinard, N. (2003). "Conjuntos excepcionales de series hipergeométricas". Journal of Number Theory . 101 (2): 244–269. doi :10.1016/S0022-314X(03)00042-8.
9. Schneider, T. (1937). "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale". Matemáticas. Annalen . 113 : 1–13. doi :10.1007/BF01571618. S2CID  121073687.
10. Waldschmidt, M. (2009). "Funciones auxiliares en la teoría de números trascendentales". The Ramanujan Journal . 20 (3): 341–373. arXiv : 0908.4024 . doi :10.1007/s11139-009-9204-y. S2CID  122797406.
11. Wilkie, AJ (1998). "Una función trascendental, algebraicamente conservadora". Paris VII Preprints . 66.

Enlaces externos

• Definición de "Función trascendental" en la Enciclopedia de Matemáticas