Ecuación trascendental

Ecuación cuyo lado(s) describe(n) una función trascendental

John Herschel , Descripción de una máquina para resolver por inspección ciertas formas importantes de ecuaciones trascendentales , 1832

En matemáticas aplicadas , una ecuación trascendental es una ecuación sobre números reales (o complejos ) que no es algebraica , es decir, si al menos uno de sus lados describe una función trascendental . ^[1] Algunos ejemplos incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{-x}\\x&=\cos x\\2^{x}&=x^{2}\end{aligned}}}$

Una ecuación trascendental no necesariamente debe ser una ecuación entre funciones elementales , aunque la mayoría de los ejemplos publicados lo son.

En algunos casos, una ecuación trascendental se puede resolver transformándola en una ecuación algebraica equivalente. Algunas de estas transformaciones se esbozan a continuación; los sistemas de álgebra computacional pueden proporcionar transformaciones más elaboradas. ^[a]

En general, sin embargo, sólo se pueden encontrar soluciones aproximadas. ^[2]

Transformación en una ecuación algebraica

Existen métodos ad hoc para algunas clases de ecuaciones trascendentales en una variable para transformarlas en ecuaciones algebraicas que luego puedan resolverse.

Ecuaciones exponenciales

Si la incógnita, digamos x , aparece sólo en exponentes:

• aplicando el logaritmo natural a ambos lados puede producirse una ecuación algebraica, ^[3] por ejemplo

${\displaystyle 4^{x}=3^{x^{2}-1}\cdot 2^{5x}}$se transforma en , que se simplifica a , que tiene las soluciones ${\displaystyle x\ln 4=(x^{2}-1)\ln 3+5x\ln 2}$ ${\displaystyle x^{2}\ln 3+x(5\ln 2-\ln 4)-\ln 3=0}$ ${\displaystyle x={\frac {-3\ln 2\pm {\sqrt {9(\ln 2)^{2}-4(\ln 3)^{2}}}}{2\ln 3}}.}$

Esto no funcionará si la adición se produce "en la línea base", como en ${\displaystyle 4^{x}=3^{x^{2}-1}+2^{5x}.}$

• Si todas las "constantes base" pueden escribirse como potencias enteras o racionales de algún número q , entonces sustituir y = q ^x puede tener éxito, por ejemplo

${\displaystyle 2^{x-1}+4^{x-2}-8^{x-2}=0}$transforma, usando y = 2 ^x , a la cual tiene las soluciones , por lo tanto es la única solución real. ^[4] ${\displaystyle {\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{16}}y^{2}-{\frac {1}{64}}y^{3}=0}$ ${\displaystyle y\in \{0,-4,8\}}$ ${\displaystyle x=\log _{2}8=3}$

Esto no funcionará si aparecen cuadrados o potencias mayores de x en un exponente, o si las "constantes base" no "comparten" una q común .

• A veces, sustituyendo y = x e ^x se puede obtener una ecuación algebraica; una vez conocidas las soluciones para y , las de x se pueden obtener aplicando la función W de Lambert , ^{[ cita requerida ]} por ejemplo:

${\displaystyle x^{2}e^{2x}+2=3xe^{x}}$transforma a la cual tiene las soluciones , por lo tanto , donde y denotan las ramas de valor real de la función multivalor. ${\displaystyle y^{2}+2=3y,}$ ${\displaystyle y\in \{1,2\},}$ ${\displaystyle x\in \{W_{0}(1),W_{0}(2),W_{-1}(1),W_{-1}(2)\}}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle W}$

Ecuaciones logarítmicas

Si la x desconocida aparece solo en los argumentos de una función logarítmica :

• aplicar la exponenciación a ambos lados puede producir una ecuación algebraica, por ejemplo

${\displaystyle 2\log _{5}(3x-1)-\log _{5}(12x+1)=0}$transforma, usando exponenciación a base de la cual tiene las soluciones Si solo se consideran números reales, no es una solución, ya que conduce a una subexpresión no real en la ecuación dada. ${\displaystyle 5.}$ ${\displaystyle {\frac {(3x-1)^{2}}{12x+1}}=1,}$ ${\displaystyle x\in \{0,2\}.}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \log _{5}(-1)}$

Esto requiere que la ecuación original consista en combinaciones lineales de logaritmos con coeficientes enteros con una base única, y que los argumentos del logaritmo sean polinomios en x . ^[5]

• Si todas las "llamadas logarítmicas" tienen una base única y una expresión de argumento única , entonces la sustitución puede conducir a una ecuación más simple, ^[6] por ejemplo ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle y=\log _{b}(f(x))}$

${\displaystyle 5\ln(\sin x^{2})+6=7{\sqrt {\ln(\sin x^{2})+8}}}$transforma, usando a la cual es algebraica y tiene la única solución . ^[b] Después de eso, aplicando operaciones inversas a la ecuación de sustitución se obtiene ${\displaystyle y=\ln(\sin x^{2}),}$ ${\displaystyle 5y+6=7{\sqrt {y+8}},}$ ${\displaystyle y={\frac {89}{25}}}$ ${\displaystyle x={\sqrt {\arcsin \exp y}}={\sqrt {\arcsin \exp {\frac {89}{25}}}}.}$

Ecuaciones trigonométricas

Si la incógnita x aparece sólo como argumento de funciones trigonométricas :

• Aplicando identidades pitagóricas y fórmulas trigonométricas de suma y múltiplos , los argumentos de las formas con números enteros podrían transformarse en argumentos de la forma, por ejemplo, . Después de eso, la sustitución produce una ecuación algebraica, ^[7] por ejemplo ${\displaystyle \sin(nx+a),\cos(mx+b),\tan(lx+c),...}$ ${\displaystyle n,m,l,...}$ ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle y=\sin(x)}$

${\displaystyle \sin(x+a)=(\cos ^{2}x)-1}$se transforma en , y, después de la sustitución, en la que es algebraica ^[c] y se puede resolver. Después de eso, aplicando se obtienen las soluciones. ${\displaystyle (\sin x)(\cos a)+{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}(\sin a)=1-(\sin ^{2}x)-1}$ ${\displaystyle y(\cos a)+{\sqrt {1-y^{2}}}(\sin a)=-y^{2}}$ ${\displaystyle x=2k\pi +\arcsin y}$

Ecuaciones hiperbólicas

Si la incógnita x aparece únicamente en expresiones lineales dentro de argumentos de funciones hiperbólicas ,

• desplegándolos mediante sus expresiones exponenciales definitorias y sustituyéndolos se obtiene una ecuación algebraica, ^[8] por ejemplo ${\displaystyle y=\exp(x)}$

${\displaystyle 3\cosh x=4+\sinh(2x-6)}$se despliega hasta que se transforma en la ecuación que es algebraica ^[d] y se puede resolver. Aplicando se obtienen las soluciones de la ecuación original. ${\displaystyle {\frac {3}{2}}(e^{x}+{\frac {1}{e^{x}}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(e^{x})^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{(e^{x})^{2}}}\right),}$ ${\displaystyle {\frac {3}{2}}(y+{\frac {1}{y}})=4+{\frac {1}{2}}\left({\frac {y^{2}}{e^{6}}}-{\frac {e^{6}}{y^{2}}}\right),}$ ${\displaystyle x=\ln y}$

Soluciones aproximadas

Solución gráfica de sin( x )=ln( x )

Se pueden encontrar soluciones numéricas aproximadas a ecuaciones trascendentales utilizando aproximaciones numéricas , analíticas o métodos gráficos.

Los métodos numéricos para resolver ecuaciones arbitrarias se denominan algoritmos de búsqueda de raíces .

En algunos casos, la ecuación se puede aproximar bien utilizando series de Taylor cerca del cero. Por ejemplo, para , las soluciones de son aproximadamente las de , es decir y . ${\displaystyle k\approx 1}$ ${\displaystyle \sin x=kx}$ ${\displaystyle (1-k)x-x^{3}/6=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {6}}{\sqrt {1-k}}}$

Para obtener una solución gráfica, un método es establecer cada lado de una ecuación trascendental de una sola variable igual a una variable dependiente y trazar los dos gráficos , utilizando sus puntos de intersección para encontrar soluciones (ver imagen).

Otras soluciones

• Algunos sistemas trascendentales de ecuaciones de orden superior pueden resolverse mediante la “separación” de las incógnitas, reduciéndolas a ecuaciones algebraicas. ^{[9] [10]}
• Lo siguiente también se puede utilizar al resolver ecuaciones/desigualdades trascendentales: Si es una solución para la ecuación y , entonces esta solución debe satisfacer . Por ejemplo, queremos resolver . La ecuación dada está definida para . Sea y . Es fácil demostrar que y por lo tanto, si hay una solución para la ecuación, debe satisfacer . De obtenemos . De hecho, y por lo tanto es la única solución real para la ecuación. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ ${\displaystyle f(x)\leq c\leq g(x)}$ ${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})=c}$ ${\displaystyle \log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)}$ ${\displaystyle -1<x<3}$ ${\displaystyle f(x)=\log _{2}\left(3+2x-x^{2}\right)}$ ${\displaystyle g(x)=\tan ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)+\cot ^{2}\left({\frac {\pi x}{4}}\right)}$ ${\displaystyle f(x)\leq 2}$ ${\displaystyle g(x)\geq 2}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)=2}$ ${\displaystyle f(x)=2}$ ${\displaystyle x=1\in (-1,3)}$ ${\displaystyle f(1)=g(1)=2}$ ${\displaystyle x=1}$

Véase también

• Problema de la señora Miniver  : Problema sobre áreas de círculos que se cortan

Notas

1. Por ejemplo, según la página del tutorial de Wolfram Mathematica sobre resolución de ecuaciones, tanto como pueden resolverse mediante expresiones simbólicas, mientras que solo pueden resolverse de forma aproximada. ${\displaystyle 2^{x}=x}$ ${\displaystyle e^{x}+x+1=0}$ ${\displaystyle x=\cos x}$
2. Al elevar al cuadrado ambos lados se obtiene que tiene la solución adicional ; sin embargo, esta última no resuelve la ecuación no cuadrada. ${\displaystyle 25y^{2}+60y+36=49\cdot (y+8)}$ ${\displaystyle y=-4}$
3. sobre un campo apropiado, que contenga y ${\displaystyle \sin a}$ ${\displaystyle \cos a}$
4. sobre un campo apropiado, que contenga ${\displaystyle e^{6}}$

Referencias

1. IN Bronstein y KA Semendjajew y G. Musiol y H. Mühlig (2005). Taschenbuch der Mathematik (en alemán). Fráncfort del Meno: Harri Deutsch.Aquí: Sec. 1.6.4.1, p. 45. El dominio de ecuaciones se deja implícito en todo el libro.
2. Bronstein y otros, págs. 45-46
3. Bronstein et al., Sección 1.6.4.2.a, p.46
4. Bronstein et al., Sección 1.6.4.2.b, p.46
5. Bronstein et al., Sección 1.6.4.3.b, p.46
6. Bronstein et al., Sección 1.6.4.3.a, p.46
7. Bronstein et al., Sección 1.6.4.4, páginas 46-47
8. Bronstein et al., Sección 1.6.4.5, p.47
9. VA Varyuhin, SA Kas'yanyuk, “Sobre un método determinado para resolver sistemas no lineales de un tipo especial”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 6:2 (1966), 347–352; URSS Comput. Math. Math. Phys., 6:2 (1966), 214–221
10. VA Varyukhin, Teoría fundamental del análisis multicanal (VA PVO SV, Kiev, 1993) [en ruso]

• John P. Boyd (2014). Resolución de ecuaciones trascendentales: el polinomio de Chebyshev y otros buscadores de raíces numéricas, series de perturbaciones y oráculos . Otros títulos en Matemáticas Aplicadas. Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). doi :10.1137/1.9781611973525. ISBN 978-1-61197-351-8.