Superficie de traslación (geometría diferencial)

Superficie generada por traducciones

Superficie de traducción: definición

En geometría diferencial, una superficie de traslación es una superficie que se genera mediante traslaciones:

• En el caso de dos curvas espaciales con un punto común , la curva se desplaza de modo que el punto se mueva hacia adelante . Mediante este procedimiento, la curva genera una superficie: la superficie de traslación . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Si ambas curvas están contenidas en un plano común, la superficie de traslación es plana (parte de un plano). Este caso generalmente se ignora.

elipse, paraboloide, parábola, cilindro, hipérbola, paraboloide como superficie de traslación

Superficie de traslación: las curvas generadoras son un arco de seno y un arco de parábola.

Desplazamiento de un círculo horizontal a lo largo de una hélice

Ejemplos sencillos :

1. Cilindro circular recto : es un círculo (u otra sección transversal) y es una línea. ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$
2. El paraboloide elíptico se puede generar mediante y (ambas curvas son parábolas ). ${\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}$ ${\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }$ ${\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }$
3. El paraboloide hiperbólico se puede generar mediante (parábola) y (parábola abierta hacia abajo). ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}$ ${\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}$

Las superficies de traslación son populares en la geometría descriptiva ^{[1] [2]} y la arquitectura ^[3] porque se pueden modelar fácilmente.
En la geometría diferencial, las superficies mínimas se representan mediante superficies de traslación o como superficies de cuerda media (véase más adelante). ^[4]

Las superficies de traslación tal como se definen aquí no deben confundirse con las superficies de traslación en geometría compleja .

Representación paramétrica

Para dos curvas espaciales y con superficie de traslación se puede representar por: ^[5] ${\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }$ ${\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }$ ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

(TS) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$

y contiene el origen. Obviamente esta definición es simétrica respecto a las curvas y . Por lo tanto, ambas curvas se denominan generatrices (una: generatriz ). Cualquier punto de la superficie está contenido en una copia desplazada de y resp.. El plano tangente en es generado por los vectores tangentes de las generatrices en este punto, si estos vectores son linealmente independientes . ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle X}$

Si no se cumple la condición previa, la superficie definida por (TS) no puede contener el origen y las curvas . Pero en cualquier caso la superficie contiene copias desplazadas de cualquiera de las curvas como curvas paramétricas y respectivamente. ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}$

Las dos curvas se pueden utilizar para generar la denominada superficie de media cuerda correspondiente . Su representación paramétrica es ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

(Sistema de control de calidad) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}$

Helicoide como superficie de traslación y superficie de media cuerda

Helicoide como superficie de traslación con generatrices idénticas ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Helicoide como superficie de traslación: cualquier curva paramétrica es una copia desplazada de la hélice púrpura.

Un helicoide es un caso especial de helicoide generalizado y de superficie reglada . Es un ejemplo de superficie mínima y se puede representar como una superficie de traslación.

El helicoide con representación paramétrica

${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}$

tiene un cambio de dirección (en alemán: Ganghöhe) . Introduciendo nuevos parámetros ^[6] tales que ${\displaystyle 2\pi k}$ ${\displaystyle \alpha ,\varphi }$

${\displaystyle u=2a\cos \left({\frac {\alpha -\varphi }{2}}\right)\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}$

y un número real positivo, se obtiene una nueva representación paramétrica ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ ,}$

que es la representación paramétrica de una superficie de traslación con dos generatrices idénticas (!)

${\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=\left(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\quad }$y

${\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=\left(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\ .}$

El punto común utilizado para el diagrama es . Las generatrices (idénticas) son hélices con el desplazamiento de giro que se encuentran en el cilindro con la ecuación . Cualquier curva paramétrica es una copia desplazada de la generatriz (en el diagrama: violeta) y está contenida en el cilindro circular recto con radio , que contiene el eje z . ${\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}$ ${\displaystyle k\pi \;,}$ ${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle a}$

La nueva representación paramétrica representa sólo aquellos puntos del helicoide que están dentro del cilindro con la ecuación . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}$

Helicoide como superficie media de dos generatrices idénticas (hélice verde).

A partir de la nueva representación paramétrica se reconoce que el helicoide también es una superficie de media cuerda:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }$y

${\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }$

son dos generatrices idénticas.

En el diagrama: se encuentra sobre la hélice y sobre la hélice (idéntica) . El punto medio de la cuerda es . ${\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \ M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }$

Ventajas de una superficie de traducción

Arquitectura

Se puede fabricar una superficie (por ejemplo, un tejado) utilizando un dispositivo para curvas y varios dispositivos idénticos para curvas . Los dispositivos se pueden diseñar sin conocimientos de matemáticas. Al colocar los dispositivos, solo se deben respetar las reglas de una superficie de traslación. ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Geometría descriptiva

Para establecer una proyección paralela de una superficie de traslación, se deben 1) realizar proyecciones de las dos generatrices, 2) hacer una plantilla de curva y 3) dibujar con ayuda de esta plantilla copias de la curva respetando las reglas de una superficie de traslación. El contorno de la superficie es la envolvente de las curvas dibujadas con la plantilla. Este procedimiento funciona para proyecciones ortogonales y oblicuas, pero no para proyecciones centrales . ${\displaystyle c_{1}}$

Geometría diferencial

Para una superficie de traslación con representación paramétrica , las derivadas parciales de son derivadas simples de las curvas. Por lo tanto, las derivadas mixtas son siempre y el coeficiente de la segunda forma fundamental también es . Esto es una facilitación esencial para demostrar que (por ejemplo) un helicoide es una superficie mínima. ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0}$

Referencias

1. H. Brauner: Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN  3709187788 , 9783709187784, p. 236
2. Fritz Hohenberg: Konstruktive Geometrie in der Technik , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709181488 , 9783709181485, p. 208 
3. Hans Schober: Transparente Schalen: Form, Topologie, Tragwerk , John Wiley & Sons, 2015, ISBN 343360598X , 9783433605981, pág.74 
4. Wilhelm Blaschke, Kurt Reidemeister: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II: Affine Differentialgeometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 364247392X , 9783642473920, p. 94 
5. Erwin Kruppa: Geometría diferencial analítica y constructiva , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709178673 , 9783709178676, p. 45 
6. JCC Nitsche: Vorlesungen über Minimalflächen , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642656196 , 9783642656194, p. 59 

• G. Darboux: Leçons sur la théorie générale des Surfaces et ses application géométriques du calcul infinitésimal , 1–4, Chelsea, reimpresión, 972, págs. Sects. 81–84, 218
• Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik , Springer-Verlag, 2014, ISBN 364241852X , p. 259 
• W. Haack: Geometría diferencial elemental , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509 , pág. 140 
• C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Kohlhammer Verlag , Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X , pág. 122 
• DJ Struik: Lecciones sobre geometría diferencial clásica , Dover, reimpresión, 1988, págs. 103, 109, 184

Enlaces externos

• Enciclopedia de Matemáticas