En geometría , una teselación de dimensión 2 (un mosaico plano) o superior, o un politopo de dimensión 3 (un poliedro ) o superior, es isoédrica o transitiva de caras si todas sus caras son iguales. Más específicamente, todas las caras no deben ser simplemente congruentes sino que deben ser transitivas , es decir, deben estar dentro de la misma órbita de simetría . En otras palabras, para dos caras cualesquiera A y B , debe haber una simetría de toda la figura por traslaciones , rotaciones y/o reflexiones que mapee A sobre B. Por esta razón, los poliedros isoédricos convexos son las formas que harán que los dados sean justos . [1]
Los poliedros isoédricos se denominan isoedros y pueden describirse por la configuración de sus caras . Un isoedro tiene un número par de caras.
El dual de un poliedro isoédrico es transitivo por vértice , es decir, isogonal. Los sólidos de Catalan , las bipirámides y los trapezoedros son todos isoédricos. Son los duales de los sólidos arquimedianos (isogonales) , prismas y antiprismas , respectivamente. Los sólidos platónicos , que son autoduales o duales con otro sólido platónico, son transitivos por vértice, arista y cara (es decir, isogonales, isotoxales e isoédricos).
Se dice que una forma que es isoédrica, tiene vértices regulares y también es transitiva en sus aristas (es decir, isotoxal) es un dual cuasirregular . Algunos teóricos consideran que estas figuras son verdaderamente cuasirregulares porque comparten las mismas simetrías, pero esto no es algo que se acepte en general.
Un poliedro que es isoédrico e isogonal se dice que es noble .
No todos los isozenoedros [2] son isoédricos. [3] Por ejemplo, un icosaedro rómbico es un isozenoedro pero no un isoedro. [4]
Un poliedro (o politopo en general) es k -isoédrico si contiene k caras dentro de sus dominios fundamentales de simetría. [5] De manera similar, un mosaico k -isoédrico tiene k órbitas de simetría separadas (puede contener m formas de caras diferentes, para m = k , o solo para algunas m < k ). [6] ("1-isoédrico" es lo mismo que "isoédrico").
Un poliedro monoédrico o teselación monoédrica ( m = 1) tiene caras congruentes, ya sea directa o reflexivamente, que se presentan en una o más posiciones de simetría. Un poliedro o teselación m -édrica tiene m formas de cara diferentes (" diédrico ", " triédrico "... son lo mismo que "2-édrico", "3-édrico"... respectivamente). [7]
A continuación se muestran algunos ejemplos de poliedros y teselaciones k -isoédricas, con sus caras coloreadas según sus posiciones de simetría k :
Una figura transitiva de celdas o isocórica es un politopo n ( n ≥ 4) o un panal n ( n ≥ 3) que tiene sus celdas congruentes y transitivas entre sí. En 3 dimensiones, los panales catóptricos , duales de los panales uniformes, son isocóricos. En 4 dimensiones, se han enumerado politopos isocóricos de hasta 20 celdas. [8]
Una figura isotópica o transitiva por facetas es un politopo o panal de abejas de n dimensiones con sus facetas (( n −1)- caras ) congruentes y transitivas. El dual de un isótopo es un politopo isogonal . Por definición, esta propiedad isotópica es común a los duales de los politopos uniformes .