Transformación de función generadora

En matemáticas, una transformación de la función generadora de una secuencia proporciona un método para convertir la función generadora de una secuencia en una función generadora que enumera otra. Estas transformaciones suelen implicar fórmulas integrales aplicadas a una función generadora de una secuencia (véase transformaciones integrales) o sumas ponderadas sobre las derivadas de orden superior de estas funciones (véase transformaciones derivadas).

Dada una secuencia, , la función generadora ordinaria (OGF) de la secuencia, denotada , y la función generadora exponencial (EGF) de la secuencia, denotada , están definidas por la serie de potencias formal ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+\cdots }$

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {f_{0}}{0!}}+{\frac {f_{1}}{1!}}z+{\frac {f_{2}}{2!}}z^{2}+\cdots .}$

En este artículo, utilizamos la convención de que la función generadora ordinaria (exponencial) para una secuencia se denota por la función mayúscula / para algún fijo o formal cuando el contexto de esta notación es claro. Además, utilizamos la notación de corchetes para la extracción de coeficientes de la referencia de Matemáticas Concretas que se proporciona por . El artículo principal proporciona ejemplos de funciones generadoras para muchas secuencias. Otros ejemplos de variantes de funciones generadoras incluyen funciones generadoras de Dirichlet (DGF), series de Lambert y series de Newton . En este artículo nos centramos en las transformaciones de funciones generadoras en matemáticas y mantenemos una lista actualizada de transformaciones útiles y fórmulas de transformación. ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [z^{n}]F(z):=f_{n}}$

Extracción de progresiones aritméticas de una secuencia

La multisección de series proporciona fórmulas para generar funciones que enumeran la secuencia dada una función generadora ordinaria donde , y . En los dos primeros casos donde , podemos expandir estas funciones generadoras de progresión aritmética directamente en términos de : ${\displaystyle \{f_{an+b}\}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a\geq 2}$ ${\displaystyle 0\leq b<a}$ ${\displaystyle (a,b):=(2,0),(2,1)}$ ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n}z^{2n}={\frac {1}{2}}\left(F(z)+F(-z)\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac {1}{2}}\left(F(z)-F(-z)\right).}$

En términos más generales, supongamos que y que denota la raíz primitiva de la unidad . Entonces tenemos la siguiente fórmula, ^[1] a menudo conocida como el filtro de la raíz de la unidad: ${\displaystyle a\geq 3}$ ${\displaystyle \omega _{a}:=\exp \left({\frac {2\pi \imath }{a}}\right)}$ ${\displaystyle a^{th}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\times \sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$

Para los números enteros , otra fórmula útil que proporciona progresiones aritméticas de base algo invertidas se genera mediante la identidad ^[2] ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$

Potencias de un OGF y composición con funciones

Los polinomios de Bell exponenciales , , están definidos por la función generadora exponencial ^[3] ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=n!\cdot [t^{n}u^{k}]\Phi (t,u)}$

${\displaystyle \Phi (t,u)=\exp \left(u\times \sum _{m\geq 1}x_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)=1+\sum _{n\geq 1}\left\{\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^{k}\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Las siguientes fórmulas para potencias, logaritmos y composiciones de series de potencias formales se expanden mediante estos polinomios con variables en los coeficientes de las funciones generadoras originales. ^{[4] [5]} La fórmula para la exponencial de una función generadora se da implícitamente a través de los polinomios de Bell por la EGF para estos polinomios definidos en la fórmula anterior para alguna secuencia de . ${\displaystyle \{x_{i}\}}$

Recíprocos de una OGF (caso especial de la fórmula de potencias)

La serie de potencias para el recíproco de una función generadora, , se expande mediante ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .}$

Si denotamos los coeficientes en la expansión de la función generadora recíproca, entonces tenemos la siguiente relación de recurrencia: ${\displaystyle b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)}$

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

Poderes de un OGF

Sea fijo, supongamos que , y denotemos . Entonces tenemos una expansión en serie para dada por ${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f_{0}=1}$ ${\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}$ ${\displaystyle F(z)^{m}}$

${\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

y los coeficientes satisfacen una relación de recurrencia de la forma ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$

${\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

Otra fórmula para los coeficientes, , se expande mediante los polinomios de Bell como ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$

${\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

donde denota el símbolo Pochhammer . ${\displaystyle (r)_{n}}$

Logaritmos de un OGF

Si dejamos y definimos , entonces tenemos una expansión en serie de potencias para la función generadora compuesta dada por ${\displaystyle f_{0}=1}$ ${\displaystyle q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)}$

${\displaystyle \log F(z)=f_{1}+\left(2f_{2}-f_{1}^{2}\right){\frac {z}{2}}+\left(3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}\right){\frac {z^{2}}{3}}+\cdots ,}$

donde los coeficientes, , en la expansión anterior satisfacen la relación de recurrencia dada por ${\displaystyle q_{n}}$

${\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},}$

y una fórmula correspondiente expandida por los polinomios de Bell en la forma de los coeficientes de la serie de potencias de la siguiente función generadora:

${\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}$

La fórmula de Faà di Bruno

Sea α el factor de crecimiento efectivo de la secuencia , y supongamos que α es el factor de crecimiento efectivo de la secuencia, . La fórmula de Faà di Bruno implica que la secuencia, , generada por la composición , puede expresarse en términos de los polinomios de Bell exponenciales de la siguiente manera: ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}(z)}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))}$

${\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}$

Transformaciones integrales

Fórmulas de conversión de OGF a EGF

Tenemos las siguientes fórmulas integrales que se pueden aplicar término por término con respecto a cuando se toma como cualquier variable de serie de potencia formal: ^[6] ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}$

Tenga en cuenta que la primera y la última de estas fórmulas integrales se utilizan para convertir del EGF al OGF de una secuencia, y del OGF al EGF de una secuencia siempre que estas integrales sean convergentes.

La primera fórmula integral corresponde a la transformada de Laplace (o a veces la transformación formal de Laplace-Borel ) de funciones generadoras, denotada por , definida en. ^[7] Por supuesto, también se pueden utilizar otras representaciones integrales para la función gamma en la segunda de las fórmulas anteriores para construir transformaciones integrales similares. Una fórmula particular resulta en el caso del ejemplo de función factorial doble que se da inmediatamente a continuación en esta sección. La última fórmula integral se compara con la integral de bucle de Hankel para la función gamma recíproca aplicada término por término a la serie de potencias para . ${\displaystyle {\mathcal {L}}[F](z)}$ ${\displaystyle F(z)}$

Ejemplo: Una integral factorial doble para la EGF de los números de Stirling de segundo tipo

La función factorial simple , , se expresa como un producto de dos funciones factoriales dobles de la forma ${\displaystyle (2n)!}$

${\displaystyle (2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!!={\frac {4^{n}\cdot n!}{\sqrt {\pi }}}\times \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$

donde una integral para la función factorial doble, o función gamma racional , viene dada por

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot (2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,}$

para números naturales . Esta representación integral de entonces implica que para potencias enteras fijas distintas de cero y cualesquiera , tenemos la fórmula ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle (2n-1)!!}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {\log(q)^{k}}{k!}}={\frac {1}{(2k)!}}\times \left[\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\sqrt {2\log(q)}}\cdot t\right)^{2k}\,dt\right].}$

Así, para cualquier número entero prescrito , podemos utilizar la representación integral anterior junto con la fórmula para extraer progresiones aritméticas de una secuencia OGF dada anteriormente, para formular la siguiente representación integral para el denominado número de Stirling modificado EGF como ${\displaystyle j\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {\log(q)^{n}}{n!}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}\cdot j!}}\left[\sum _{b=\pm 1}\left(e^{b{\sqrt {2\log(q)}}\cdot t}-1\right)^{j}\right]dt,}$

que es convergente siempre que se den las condiciones adecuadas en el parámetro . ^[8] ${\displaystyle 0<|q|<1}$

Ejemplo: Una fórmula EGF para las derivadas de orden superior de la serie geométrica

Para un número fijo distinto de cero definido de modo que , sea la serie geométrica sobre las potencias integrales no negativas de la que se denota por . Las derivadas de orden superior correspondientes de la serie geométrica con respecto a se denotan por la secuencia de funciones ${\displaystyle c,z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle (cz)^{n}}$ ${\displaystyle G(z):=1/(1-cz)}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle G_{j}(z):={\frac {(cz)^{j}}{1-cz}}\times \left({\frac {d}{dz}}\right)^{(j)}\left[G(z)\right],}$

para números enteros no negativos . Se puede demostrar, por ejemplo por inducción, que estas derivadas de las series geométricas ordinarias satisfacen una fórmula explícita en forma cerrada dada por ${\displaystyle j\geq 0}$ ${\displaystyle j^{th}}$

${\displaystyle G_{j}(z)={\frac {(cz)^{j}\cdot j!}{(1-cz)^{j+2}}},}$

Para cualquier momento . Como ejemplo de la tercera fórmula de conversión de OGF a EGF citada anteriormente, podemos calcular las siguientes formas exponenciales correspondientes de las funciones generadoras : ${\displaystyle j\geq 0}$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle \longmapsto }$ ${\displaystyle G_{j}(z)}$

${\displaystyle {\widehat {G}}_{j}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }G_{j}\left(ze^{-\imath t}\right)e^{e^{\imath t}}dt={\frac {(cz)^{j}e^{cz}}{(j+1)}}\left(j+1+z\right).}$

Integrales fraccionarias y derivadas

Las integrales fraccionarias y las derivadas fraccionarias (véase el artículo principal ) forman otra clase generalizada de operaciones de integración y diferenciación que se pueden aplicar al OGF de una secuencia para formar el OGF correspondiente de una secuencia transformada. Definimos el operador integral fraccionario (de orden ) por la transformación integral ^[9] ${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}$

que corresponde a la serie de potencias (formal) dada por

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.}$

Para fijos definidos tales que , tenemos que los operadores . Además, para fijos y enteros que satisfacen podemos definir la noción de derivada fraccionaria que satisface las propiedades que ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Re (\alpha ),\Re (\beta )>0}$ ${\displaystyle I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\Re (\alpha )<n}$

${\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

y

${\displaystyle D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}}$para ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n,}$

donde tenemos la propiedad del semigrupo que solo cuando ninguno de ellos tiene un valor entero. ${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }$

Transformaciones en series polilogarítmicas

Para fijo , tenemos que (compare con el caso especial de la fórmula integral para la función polilogarítmica generalizada de Nielsen definida en ^[10] ) ^[11] ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

Nótese que si fijamos , la integral con respecto a la función generadora, , en la última ecuación cuando corresponde a la función generadora de Dirichlet , o DGF, , de la secuencia de siempre que la integral converja. Esta clase de transformaciones integrales relacionadas con polilogaritmos está relacionada con las transformaciones de series zeta basadas en derivadas definidas en las siguientes secciones. ${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle z\equiv 1}$ ${\displaystyle {\widetilde {F}}(s)}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

Transformaciones de funciones generadoras de series cuadradas

Para números fijos distintos de cero tales que y , tenemos las siguientes representaciones integrales para la denominada función generadora de series cuadradas asociada con la secuencia , que se puede integrar término por término con respecto a : ^[12] ${\displaystyle q,c,z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |q|<1}$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}$

Este resultado, que se demuestra en la referencia, se desprende de una variante de la integral de transformación de la función factorial doble para los números de Stirling de segunda especie dados como ejemplo anteriormente. En particular, dado que

${\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

podemos utilizar una variante de las transformaciones OGF basadas en derivadas de orden positivo definidas en las siguientes secciones que involucran los números de Stirling del segundo tipo para obtener una fórmula integral para la función generadora de la secuencia, , y luego realizar una suma sobre las derivadas de la OGF formal, para obtener el resultado en la ecuación anterior donde la función generadora de progresión aritmética en cuestión se denota por ${\displaystyle \left\{S(2n,j)/n!\right\}}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),}$

para cada fijo . ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Productos de Hadamard y funciones generadoras diagonales

Tenemos una representación integral del producto Hadamard de dos funciones generadoras, y , expresada en la siguiente forma: ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$

${\displaystyle (F\odot G)(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}g_{n}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F\left({\sqrt {z}}e^{it}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-it}\right)dt,}$

donde i es la unidad imaginaria .

En el libro de Stanley se puede encontrar más información sobre los productos de Hadamard como funciones generadoras diagonales de secuencias multivariadas y/o funciones generadoras y las clases de funciones generadoras a las que pertenecen estas funciones generadoras diagonales. ^[13] La referencia también proporciona fórmulas de extracción de coeficientes anidados de la forma

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(F_{1}\cdots F_{k}\right):=\sum _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{0}x_{1}^{0}]F_{k}\left({\frac {z}{x_{k-1}}}\right)F_{k-1}\left({\frac {x_{k-1}}{x_{k-2}}}\right)\cdots F_{2}\left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)F_{1}(x_{1}),}$

que son particularmente útiles en los casos donde las funciones generadoras de secuencias de componentes, , se pueden expandir en una serie de Laurent , o serie fraccionaria, en , como en el caso especial donde todas las funciones generadoras de componentes son racionales, lo que conduce a una forma algebraica de la función generadora diagonal correspondiente. ${\displaystyle F_{i}(z)}$ ${\displaystyle z}$

Ejemplo: Productos de Hadamard de funciones generadoras racionales

En general, el producto de Hadamard de dos funciones generadoras racionales es en sí mismo racional. ^[14] Esto se ve al notar que los coeficientes de una función generadora racional forman términos cuasi-polinomiales de la forma

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$

donde las raíces recíprocas, , son escalares fijos y donde es un polinomio en para todo . Por ejemplo, el producto de Hadamard de las dos funciones generadoras ${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p_{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}}$

y

${\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}}$

se da por la fórmula de la función generadora racional ^[15]

${\displaystyle (F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}$

Ejemplo: Transformaciones factoriales (aproximadas de Laplace)

Funciones generadoras ordinarias para funciones factoriales generalizadas formadas como casos especiales de las funciones de producto factorial ascendente generalizadas , o símbolo k de Pochhammer , definidas por

${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},}$

donde es fijo, , y denota el símbolo de Pochhammer se generan (al menos formalmente) por las J-fracciones de tipo Jacobi (o formas especiales de fracciones continuas ) establecidas en la referencia. ^[16] Si denotamos el convergente a estas fracciones continuas infinitas donde las funciones convergentes componentes están definidas para todos los números enteros por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}$ ${\displaystyle h^{\text{th}}}$ ${\displaystyle h\geq 2}$

${\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}}$

donde denota un polinomio de Laguerre asociado , entonces tenemos que la función convergente, , enumera exactamente las secuencias de productos, , para todos . Para cada , la función convergente se expande como una suma finita que involucra solo recíprocos pareados de los polinomios de Laguerre en la forma de ${\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}$ ${\displaystyle h^{th}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}$ ${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$ ${\displaystyle 0\leq n<2h}$ ${\displaystyle h\geq 2}$ ${\displaystyle h^{th}}$

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}$

Además, dado que la función factorial simple está dada por ambos y , podemos generar los términos de la función factorial simple utilizando las funciones generadoras convergentes racionales aproximadas hasta el orden . Esta observación sugiere un enfoque para aproximar la transformada de Laplace-Borel exacta (formal) que generalmente se da en términos de la representación integral de la sección anterior mediante una función generadora de producto de Hadamard o coeficiente diagonal. En particular, dado cualquier OGF podemos formar la transformada de Laplace aproximada, que es precisa en un orden, mediante la fórmula de extracción de coeficiente diagonal establecida anteriormente dada por ${\displaystyle n!=p_{n}(1,1)}$ ${\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)}$ ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt.\end{aligned}}}$

Los ejemplos de secuencias enumeradas a través de estas funciones generadoras de coeficientes diagonales que surgen del multiplicador de la función factorial de secuencia proporcionada por las funciones convergentes racionales incluyen

${\displaystyle {\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}$

donde denota una función de Bessel modificada , denota la función subfactorial , denota la función factorial alternada y es un polinomio de Legendre . Otros ejemplos de secuencias enumeradas a través de aplicaciones de estas funciones generadoras de productos de Hadamard racionales que se dan en el artículo incluyen la función G de Barnes , sumas combinatorias que involucran la función factorial doble , sumas de secuencias de potencias y secuencias de binomios. ${\displaystyle I_{0}(z)}$ ${\displaystyle !n}$ ${\displaystyle \operatorname {af} (n)}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$

Transformaciones derivadas

Transformaciones de series zeta de orden positivo y negativo

Para fijo , tenemos que si la secuencia OGF tiene derivadas de todos los órdenes requeridos para , la transformación de la serie zeta de orden positivo está dada por ^[17] ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),}$

donde denota un número de Stirling de segunda especie . En particular, tenemos la siguiente identidad de caso especial cuando cuando denota el triángulo de números eulerianos de primer orden : ^[18] ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}}$ ${\displaystyle f_{n}\equiv 1\forall n}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}$

También podemos expandir las transformaciones de la serie zeta de orden negativo mediante un procedimiento similar a las expansiones anteriores dadas en términos de las derivadas de orden de algunos y un conjunto infinito, no triangular, de números de Stirling generalizados en sentido inverso , o números de Stirling generalizados de segundo tipo definidos dentro de este contexto. ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$

En particular, para los números enteros , defina estas clases generalizadas de números de Stirling del segundo tipo mediante la fórmula ${\displaystyle k,j\geq 0}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.}$

Entonces, para y algún OGF prescrito, , es decir, de modo que las derivadas de orden superior de existan para todos , tenemos que ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle j\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}$

A continuación se muestra una tabla de los primeros coeficientes de transformación de la serie zeta, . Estas expansiones de números armónicos ponderados son casi idénticas a las fórmulas conocidas para los números de Stirling de primera clase hasta el signo principal en los términos de números armónicos ponderados en las expansiones. ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}}$

Ejemplos de transformaciones de series zeta de orden negativo

Las siguientes series relacionadas con las funciones polilogarítmicas (las funciones dilogarítmica y trilogarítmica , respectivamente), la función zeta alternada y la función zeta de Riemann se formulan a partir de los resultados de series de orden negativo anteriores que se encuentran en las referencias. En particular, cuando (o equivalentemente, cuando en la tabla anterior), tenemos las siguientes series de casos especiales para el dilogarítmico y el valor constante correspondiente de la función zeta alternada: ${\displaystyle s:=2}$ ${\displaystyle k:=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(2)&={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}{4\cdot 2^{j}}}.\end{aligned}}}$

Cuando (o cuando en la notación utilizada en la subsección anterior), obtenemos de manera similar series de casos especiales para estas funciones dadas por ${\displaystyle s:=3}$ ${\displaystyle k:=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}{12\cdot 2^{j}}}\\&={\frac {1}{6}}\log(2)^{3}+\sum _{j\geq 0}{\frac {H_{j}H_{j}^{(2)}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Se sabe que los números armónicos de primer orden tienen una función generadora exponencial de forma cerrada desarrollada en términos del logaritmo natural , la función gamma incompleta y la integral exponencial dada por

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}}{n!}}z^{n}=e^{z}\left({\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\right).}$

Se forman representaciones en serie adicionales para las funciones generadoras exponenciales de números armónicos de orden r para números enteros como casos especiales de estos resultados de transformación en serie basados ​​en derivadas de orden negativo. Por ejemplo, los números armónicos de segundo orden tienen una función generadora exponencial correspondiente expandida por la serie ${\displaystyle r\geq 2}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}^{(2)}}{n!}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}{\frac {H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}}{2\cdot (j+1)!}}z^{j}e^{z}\left(j+1+z\right).}$

Transformaciones generalizadas de series zeta de orden negativo

Una generalización adicional de las transformaciones de series de orden negativo definidas anteriormente está relacionada con funciones generadoras más parecidas a Hurwitz-zeta o a Lerch-trascendente . Específicamente, si definimos los números de Stirling parametrizados aún más generales del segundo tipo por

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}}$,

Para valores distintos de cero tales que , y algún fijo , tenemos que ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}$

Además, para cualquier número entero , tenemos las aproximaciones de series parciales a la serie infinita completa en la ecuación anterior dada por ${\displaystyle u,u_{0}\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}$

Ejemplos de transformaciones generalizadas de series zeta de orden negativo

Las series para constantes especiales y funciones relacionadas con zeta resultantes de estas transformaciones de series generalizadas basadas en derivadas generalmente involucran los números armónicos de orden r generalizados definidos por para números enteros . Un par de expansiones de series particulares para las siguientes constantes cuando es fijo se derivan de casos especiales de identidades de tipo BBP como ${\displaystyle H_{n}^{(r)}(\alpha ,\beta ):=\sum _{1\leq k\leq n}(\alpha k+\beta )^{-r}}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4{\sqrt {3}}\pi }{9}}&=\sum _{j\geq 0}{\frac {8}{9^{j+1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right).\end{aligned}}}$

Varias otras series para los casos relacionados con la función zeta de la función chi de Legendre , la función poligamma y la función zeta de Riemann incluyen

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\chi _{2}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\left({\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z}}H_{j}^{(1)}(2,z)\right){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18}}\zeta (3)&=\sum _{i=1,2}\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i}{3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{(1)}(3,i)+{\frac {1}{2i}}\left(H_{j}^{(1)}(3,i)^{2}+H_{j}^{(2)}(3,i)\right)\right){\frac {(-1)^{i+1}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Además, podemos dar otra nueva representación explícita en serie de la función tangente inversa a través de su relación con los números de Fibonacci ^[19] expandidos como en las referencias de

${\displaystyle \tan ^{-1}(x)={\frac {\sqrt {5}}{2\imath }}\times \sum _{b=\pm 1}\sum _{j\geq 0}{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left(b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}-{\frac {\left(b\imath \Phi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1+{\frac {b\imath \Phi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}\right],}$

para y donde la proporción áurea (y su recíproco) se definen respectivamente por . ${\displaystyle t\equiv 2x/\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4}{5}}x^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \varphi ,\Phi :={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)}$

Relaciones de inversión e identidades de funciones generadoras

Relaciones de inversión

Una relación de inversión es un par de ecuaciones de la forma

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k},}$

que es equivalente a la relación de ortogonalidad

${\displaystyle \sum _{k=j}^{n}A_{n,k}\cdot B_{k,j}=\delta _{n,j}.}$

Dadas dos secuencias, y , relacionadas por una relación inversa de la forma anterior, a veces buscamos relacionar los OGF y EGF del par de secuencias mediante ecuaciones funcionales implicadas por la relación de inversión. Este objetivo en algunos aspectos refleja la relación de función generadora más teórica de números ( serie de Lambert ) garantizada por la fórmula de inversión de Möbius , que establece que siempre que ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{d|n}b_{d}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d},}$

Las funciones generadoras para las secuencias, y , están relacionadas por la transformada de Möbius dada por ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}=\sum _{n\geq 1}{\frac {b_{n}z^{n}}{1-z^{n}}}.}$

De manera similar, la transformada de Euler de funciones generadoras para dos secuencias, y , satisface la relación ^[20] ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle 1+\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}=\prod _{i\geq 1}{\frac {1}{(1-z^{i})^{a_{i}}}},}$

se da en forma de

${\displaystyle 1+B(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac {A(z^{k})}{k}}\right),}$

donde las fórmulas de inversión correspondientes entre las dos secuencias se dan en la referencia.

El resto de los resultados y ejemplos dados en esta sección esbozan algunas de las transformaciones de funciones generadoras más conocidas proporcionadas por sucesiones relacionadas por fórmulas de inversión (la transformada binomial y la transformada de Stirling ), y proporciona varias tablas de relaciones de inversión conocidas de varios tipos citadas en el libro Combinatorial Identities de Riordan . En muchos casos, omitimos las ecuaciones funcionales correspondientes implicadas por las relaciones de inversión entre dos sucesiones ( esta parte del artículo necesita más trabajo ).

La transformada binomial

La primera relación de inversión que se proporciona a continuación, implícita en la transformación binomial , es quizás la más simple de todas las relaciones de inversión que consideraremos en esta sección. Para dos secuencias cualesquiera, y , relacionadas por las fórmulas de inversión ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}g_{k},}$

Tenemos ecuaciones funcionales entre los OGF y EGF de estas secuencias proporcionadas por la transformación binomial en las formas de

${\displaystyle G(z)={\frac {1}{1-z}}F\left({\frac {-z}{1-z}}\right)}$

y

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)=e^{z}{\widehat {F}}(-z).}$

La transformada de Stirling

Para cualquier par de secuencias, y , relacionadas por la fórmula de inversión del número de Stirling ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k},}$

Estas relaciones de inversión entre las dos secuencias se traducen en ecuaciones funcionales entre los EGF de secuencia dadas por la transformada de Stirling como

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}$

y

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}$

Tablas de pares de inversión del libro de Riordan

Estas tablas aparecen en los capítulos 2 y 3 del libro de Riordan, que ofrece una introducción a las relaciones inversas con numerosos ejemplos, aunque no hace hincapié en las ecuaciones funcionales entre las funciones generadoras de sucesiones relacionadas por estas relaciones de inversión. Se anima al lector interesado a adquirir una copia del libro original para obtener más detalles.

Varias formas de las relaciones inversas más simples

Clases de Gould de relaciones inversas

Los términos, y , en las fórmulas de inversión de la forma ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

En la siguiente tabla se dan varios casos especiales de clases de Gould de relaciones inversas .

Para las clases 1 y 2, el rango de la suma satisface , y para las clases 3 y 4 los límites de la suma están dados por . Estos términos también se simplifican un poco de sus formas originales en la tabla mediante las identidades ${\displaystyle k\in [0,n]}$ ${\displaystyle k=n,n+1,\ldots }$

${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}-q\times {\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}={\frac {p+qk-k}{p+qn-k}}{\binom {p+qn-k}{n-k}}}$

${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}+q\times {\binom {p+qk-k}{n-1-k}}={\frac {p+qn-n+1}{p+qk-n+1}}{\binom {p+qk-k}{n-k}}.}$

Las relaciones inversas de Chebyshev más simples

Los casos denominados más simples de las clases de Chebyshev de relaciones inversas en la subsección siguiente se dan en la siguiente tabla.

Las fórmulas de la tabla se simplifican un poco mediante las siguientes identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}\\{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1-k}{n+1-2k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+k}}{\binom {n+2k}{k}}\\{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}&={\frac {n-k}{n+k}}{\binom {n+k}{k}}.\end{aligned}}}$

Además, las relaciones de inversión dadas en la tabla también se cumplen en cualquier relación dada. ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$

Clases de relaciones inversas de Chebyshev

Los términos, y , en las fórmulas de inversión de la forma ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n+ck},}$

Para números enteros distintos de cero que forman varios casos especiales de clases de Chebyshev de relaciones inversas se dan en la siguiente tabla. ${\displaystyle c}$

Además, estas relaciones de inversión también se cumplen cuando para algunos o cuando el factor de signo de se desplaza de los términos a los términos . Las fórmulas dadas en la tabla anterior se simplifican un poco mediante las identidades ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$ ${\displaystyle p=0,1,2,\ldots ,}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$ ${\displaystyle A_{n,k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+ck+k}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\\{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck-k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{aligned}}}$

Las relaciones inversas de Legendre más simples

Clases de relaciones inversas de Legendre-Chebyshev

Las clases de relaciones inversas de Legendre-Chebyshev corresponden a relaciones de inversión de la forma

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

donde los términos, y , dependen implícitamente de algún . En general, dada una clase de pares inversos de Chebyshev de la forma ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n-ck},}$

Si es primo, la sustitución de , , y (posiblemente reemplazando ) conduce a un par Legendre-Chebyshev de la forma ^[23] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n\longmapsto cn+p}$ ${\displaystyle a_{cn+p}\longmapsto A_{n}}$ ${\displaystyle b_{cn+p}\longmapsto B_{n}}$ ${\displaystyle k\longmapsto n-k}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{cn+p,k}B_{n-k}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{cn+p,k}(-1)^{k}A_{n-k}.}$

De manera similar, si el entero positivo es compuesto, podemos derivar pares de inversión de la forma ${\displaystyle c:=de}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{dn+p,k}B_{n-ek}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{dn+p,k}(-1)^{k}A_{n-ek}.}$

La siguiente tabla resume varias clases generalizadas de relaciones inversas de Legendre-Chebyshev para algún entero distinto de cero . ${\displaystyle c}$

Relaciones inversas de Abel

Las relaciones inversas de Abel corresponden a pares inversos de Abel de la forma

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{nk}b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{nk}(-1)^{n-k}a_{k},}$

donde los términos, y , pueden variar implícitamente con algún parámetro de suma indeterminado . Estas relaciones también se mantienen si se realiza la sustitución del coeficiente binomial de por algún entero no negativo . La siguiente tabla resume varias formas notables de estas relaciones inversas de Abel. ${\displaystyle A_{nk}}$ ${\displaystyle B_{nk}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\binom {n}{k}}\longmapsto {\binom {n+p}{k+p}}}$ ${\displaystyle p}$

Relaciones inversas derivadas de funciones generadoras ordinarias

Si dejamos que los números de Fibonacci convolucionados , , se definan por ${\displaystyle f_{k}^{(\pm p)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}^{(p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p+n-j-1}{n-j}}{\binom {n-j}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {n-j}{j}}(-1)^{n-j},\end{aligned}}}$

Tenemos la siguiente tabla de relaciones inversas que se obtienen a partir de propiedades de funciones generadoras de secuencias ordinarias demostradas como en la sección 3.3 del libro de Riordan.

Tenga en cuenta que las relaciones 3, 4, 5 y 6 de la tabla pueden transformarse de acuerdo con las sustituciones y para algún entero fijo distinto de cero . ${\displaystyle a_{n-k}\longmapsto a_{n-qk}}$ ${\displaystyle b_{n-k}\longmapsto b_{n-qk}}$ ${\displaystyle q\geq 1}$

Relaciones inversas derivadas de funciones generadoras exponenciales

Sean y denoten los números de Bernoulli y los números de Euler , respectivamente, y supongamos que las secuencias, , , y están definidas por las siguientes funciones generadoras exponenciales: ^[24] ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \{d_{2n}\}}$ ${\displaystyle \{e_{2n}\}}$ ${\displaystyle \{f_{2n}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {d_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {2z}{e^{z}-e^{-z}}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{2}}{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{3}}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}.\end{aligned}}}$

La siguiente tabla resume varios casos notables de relaciones de inversión obtenidas a partir de funciones generadoras exponenciales en la sección 3.4 del libro de Riordan. ^[25]

Inversas multinomiales

The inverse relations used in formulating the binomial transform cited in the previous subsection are generalized to corresponding two-index inverse relations for sequences of two indices, and to multinomial inversion formulas for sequences of ${\displaystyle j\geq 3}$ indices involving the binomial coefficients in Riordan.^[26] In particular, we have the form of a two-index inverse relation given by

${\displaystyle a_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},}$

and the more general form of a multinomial pair of inversion formulas given by

${\displaystyle a_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}.}$

Notes

1. See Section 1.2.9 in Knuth's The Art of Computer Programming (Vol. 1).
2. Solution to exercise 7.36 on page 569 in Graham, Knuth and Patshnik.
3. See section 3.3 in Comtet.
4. See sections 3.3–3.4 in Comtet.
5. See section 1.9(vi) in the NIST Handbook.
6. See page 566 of Graham, Knuth and Patashnik for the statement of the last conversion formula.
7. See Appendix B.13 of Flajolet and Sedgewick.
8. Refer to the proof of Theorem 2.3 in Math.NT/1609.02803.
9. See section 1.15(vi)–(vii) in the NIST Handbook.
10. Weisstein, Eric W. "Nielsen Generalized Polylogarithm". MathWorld.
11. See equation (4) in section 2 of Borwein, Borwein and Girgensohn's article Explicit evaluation of Euler sums (1994).
12. See the article Math.NT/1609.02803.
13. See section 6.3 in Stanley's book.
14. See section 2.4 in Lando's book.
15. Potekhina, E. A. (2017). "Application of Hadamard product to some combinatorial and probabilistic problems". Discr. Math. Appl. 27 (3): 177–186. doi:10.1515/dma-2017-0020. S2CID 125969602.
16. Schmidt, M. D. (2017). "Jacobi type continued fractions for ordinary generating functions of generalized factorial functions". J. Int. Seq. 20: 17.3.4. arXiv:1610.09691.
17. See the inductive proof given in section 2 of Math.NT/1609.02803.
18. See the table in section 7.4 of Graham, Knuth and Patashnik.
19. See equation (30) on the MathWorld page for the inverse tangent function.
20. Weisstein, E. "Euler Transform". MathWorld.
21. Solution to exercise 5.71 in Concrete Mathematics.
22. Spivey, M. Z. (2006). "The k-binomial transforms and the Hankel transform". Journal of Integer Sequences. 9 (Article 06.1.1): 11. Bibcode:2006JIntS...9...11S.
23. See section 2.5 of Riordan
24. See section 3.4 in Riordan.
25. Compare to the inversion formulas given in section 24.5(iii) of the NIST Handbook.
26. See section 3.5 in Riordan's book.

References

• Comtet, L. (1974). Advanced Combinatorics (PDF). D. Reidel Publishing Company. ISBN 9027703809. Archived from the original (PDF) on 2017-06-24. Retrieved 2017-02-10.
• Flajolet and Sedgewick (2010). Analytic Combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89806-5.
• Graham, Knuth and Patashnik (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0201558025.
• Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms. Vol. 1. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.
• Lando, S. K. (2002). Lectures on Generating Functions. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3481-9.
• Oliver, Lozier, Boisvert and Clark (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-14063-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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• Schmidt, M. D. (9 Sep 2016). "Square Series Generating Function Transformations". arXiv:1609.02803 [math.NT].
• Stanley, R. P. (1999). Enumerative Combinatorics. Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78987-5.

Enlaces externos

• ¿Por qué no enseñan el cálculo de Newton sobre qué viene después? - Mathologer