Transformada de Joukowsky

In mathematics, a type of conformal map

Ejemplo de transformada de Joukowsky. El círculo de arriba se transforma en el perfil aerodinámico de Joukowsky de abajo.

En matemáticas aplicadas , la transformada de Joukowsky (a veces transliterada como Joukovsky , Joukowski o Zhukovsky ) es un mapa conforme utilizado históricamente para comprender algunos principios del diseño de perfiles aerodinámicos . Lleva el nombre de Nikolai Zhukovsky , quien lo publicó en 1910. ^[1]

La transformación es

${\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},}$

donde es una variable compleja en el nuevo espacio y es una variable compleja en el espacio original. ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$

En aerodinámica , la transformada se utiliza para resolver el flujo de potencial bidimensional alrededor de una clase de perfiles aerodinámicos conocidos como perfiles aerodinámicos de Joukowsky. Un perfil aerodinámico de Joukowsky se genera en el plano complejo ( plano) aplicando la transformada de Joukowsky a un círculo en el plano. Las coordenadas del centro del círculo son variables y variarlas modifica la forma del perfil aerodinámico resultante. El círculo encierra el punto (donde la derivada es cero) y cruza el punto. Esto se puede lograr para cualquier posición central permitida variando el radio del círculo. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta =-1}$ ${\displaystyle \zeta =1.}$ ${\displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}$

Los perfiles Joukowsky tienen una cúspide en su borde de fuga . Un mapeo conforme estrechamente relacionado, la transformada de Kármán-Trefftz , genera la clase más amplia de perfiles aerodinámicos de Kármán-Trefftz al controlar el ángulo del borde de fuga. Cuando se especifica un ángulo de borde de salida igual a cero, la transformada de Kármán-Trefftz se reduce a la transformada de Joukowsky.

Transformación del general Joukowsky

La transformada de Joukowsky de cualquier número complejo es la siguiente: ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Entonces las componentes real ( ) e imaginaria ( ) son: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\[2pt]y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Muestra de perfil aerodinámico de Joukowsky

La transformación de todos los números complejos en un círculo unitario es un caso especial.

$${\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,}$$

lo que da

$${\displaystyle \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}$$

Entonces el componente real se convierte en y el componente imaginario se convierte en . ${\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }$ ${\textstyle y=\eta (1-1)=0}$

Así, el círculo unitario complejo se asigna a una placa plana en la recta de números reales de −2 a +2.

Las transformaciones de otros círculos crean una amplia gama de formas de perfiles aerodinámicos.

Campo de velocidad y circulación del perfil aerodinámico de Joukowsky.

La solución al flujo potencial alrededor de un cilindro circular es analítica y bien conocida. Es la superposición de un flujo uniforme , un doblete y un vórtice .

La velocidad conjugada compleja alrededor del círculo en el plano es ${\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}$ ${\displaystyle \zeta }$

$${\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}$$

dónde

• ${\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}$es la coordenada compleja del centro del círculo,
• ${\displaystyle V_{\infty }}$es la velocidad de corriente libre del fluido,

${\displaystyle \alpha }$es el ángulo de ataque del perfil aerodinámico con respecto al flujo libre,

• ${\displaystyle R}$es el radio del círculo, calculado usando , ${\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \Gamma }$es la circulación , encontrada usando la condición de Kutta , que se reduce en este caso a
  $${\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}$$

La velocidad compleja alrededor del perfil aerodinámico en el avión es, de acuerdo con las reglas del mapeo conforme y usando la transformación de Joukowsky, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}$$

Aquí con y los componentes de la velocidad en las direcciones y respectivamente ( con y de valor real). A partir de esta velocidad se pueden calcular otras propiedades de interés del flujo, como el coeficiente de presión y la sustentación por unidad de luz. ${\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Transformada de Kármán-Trefftz

Ejemplo de transformada de Kármán-Trefftz. El círculo de arriba en el plano se transforma en el perfil aerodinámico de Kármán-Trefftz de abajo, en el plano . Los parámetros utilizados son: y Tenga en cuenta que el perfil aerodinámico en el avión se ha normalizado utilizando la longitud de la cuerda . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu _{x}=-0.08,}$ ${\displaystyle \mu _{y}=+0.08}$ ${\displaystyle n=1.94.}$ ${\displaystyle z}$

La transformada de Kármán-Trefftz es un mapa conforme estrechamente relacionado con la transformada de Joukowsky. Mientras que un perfil aerodinámico Joukowsky tiene un borde de salida abombado, un perfil aerodinámico Kármán-Trefftz , que es el resultado de la transformación de un círculo en el plano al plano físico, análogo a la definición del perfil aerodinámico Joukowsky, tiene un borde aerodinámico distinto de cero. ángulo en el borde de salida, entre la superficie superior e inferior del perfil aerodinámico. Por lo tanto, la transformada de Kármán-Trefftz requiere un parámetro adicional: el ángulo del borde de salida. Esta transformada es ^{[2] [3]} ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha .}$

donde es una constante real que determina las posiciones donde y es ligeramente menor que 2. El ángulo entre las tangentes de las superficies superior e inferior del perfil aerodinámico en el borde de fuga se relaciona con [ ^2] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle dz/d\zeta =0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}$

La derivada , necesaria para calcular el campo de velocidades, es ${\displaystyle dz/d\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.}$

Fondo

Primero, suma y resta 2 de la transformada de Joukowsky, como se indica arriba:

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}$

Dividir los lados izquierdo y derecho da

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}$

El lado derecho contiene (como factor) la ley simple de la segunda potencia de la teoría del flujo potencial , aplicada en el borde de salida cerca. Desde la teoría de mapeo conforme, se sabe que este mapa cuadrático cambia un semiplano en el espacio - en flujo potencial alrededor una recta semiinfinita. Además, valores de potencia inferiores a 2 darán como resultado un flujo alrededor de un ángulo finito. Entonces, al cambiar la potencia en la transformada de Joukowsky a un valor ligeramente menor que 2, el resultado es un ángulo finito en lugar de una cúspide. Reemplazar 2 por en la ecuación anterior da ^[2] ${\displaystyle \zeta =+1.}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}$

que es la transformada de Kármán-Trefftz. Resolviendo se obtiene en la forma de ecuación A. ${\displaystyle z}$

Perfiles aerodinámicos simétricos de Joukowsky

En 1943, Hsue-shen Tsien publicó una transformación de un círculo de radio en un perfil aerodinámico simétrico que depende del parámetro y del ángulo de inclinación : ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}$

El parámetro produce una placa plana cuando es cero y un círculo cuando es infinito; por tanto, corresponde al espesor del perfil aerodinámico. Además el radio del cilindro . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle a=1+\epsilon }$

Notas

1. Joukowsky, NE (1910). "Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger". Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt (en alemán). 1 : 281–284 y (1912) 3 : 81–86.
2. Milne-Thomson, Louis M. (1973). Aerodinámica teórica (4ª ed.). Publicación de Dover. págs. 128-131. ISBN 0-486-61980-X.
3. Blom, JJH (1981). "Algunas cantidades características de los perfiles Karman-Trefftz" (Documento). Memorando técnico de la NASA TM-77013.
4. Tsien, Hsue-shen (1943). "Perlas aerodinámicas simétricas de Joukowsky en flujo cortante". Trimestral de Matemática Aplicada . 1 (2): 130–248. doi : 10.1090/qam/8537 .

Referencias

• Anderson, Juan (1991). Fundamentos de aerodinámica (Segunda ed.). Toronto: McGraw-Hill. págs. 195-208. ISBN 0-07-001679-8.
• Zingg, DW (1989). "Cálculos de Euler con número de Mach bajo". NASA TM-102205.

enlaces externos

• Joukowski transforma el subprograma de la NASA
• Joukowsky transforma la aplicación web interactiva