Transformada de Esscher

En ciencia actuarial , la transformada de Esscher (Gerber & Shiu 1994) es una transformación que toma una densidad de probabilidad f ( x ) y la transforma a una nueva densidad de probabilidad f ( x ;  h ) con un parámetro h . Fue introducido por F. Esscher en 1932 (Esscher 1932).

Definición

Sea f ( x ) una densidad de probabilidad. Su transformada de Esscher se define como

${\displaystyle f(x;h)={\frac {e^{hx}f(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}f(x)dx}}.\,}$

De manera más general, si μ es una medida de probabilidad , la transformada de Esscher de μ es una nueva medida de probabilidad E _h ( μ ) que tiene densidad

${\displaystyle {\frac {e^{hx}}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}d\mu (x)}}}$

con respecto a μ .

Propiedades básicas

Combinación

La transformada de Esscher de una transformada de Esscher es nuevamente una transformada de Esscher: E _{h 1}  E _{h 2}  =  E _{h 1  +  h 2} .

Inverso

La inversa de la transformada de Esscher es la transformada de Esscher con parámetro negativo: E⁻¹
_hora =  mi _{− h}

movimiento medio

El efecto de la transformada de Esscher sobre la distribución normal mueve la media:

${\displaystyle E_{h}({\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}))={\mathcal {N}}(\mu +h\sigma ^{2},\,\sigma ^{2}).\,}$

Ejemplos

Ver también

• Principio de Esscher
• Inclinación exponencial

Referencias

• Gerber, Hans U.; Shiu, Elías SW (1994). "Precio de opciones según Esscher Transforms" (PDF) . Transacciones de la Sociedad de Actuarios . 46 : 99-191.

• Esscher, F. (1932). "Sobre la función de probabilidad en la teoría colectiva del riesgo". Skandinavisk Aktuarietídskrift . 15 (3): 175-195. doi :10.1080/03461238.1932.10405883.