Transformada Y-Δ

Técnica en el análisis de circuitos eléctricos

En ingeniería eléctrica , la transformada Y-Δ , también escrita estrella-delta y también conocida por muchos otros nombres, es una técnica matemática para simplificar el análisis de una red eléctrica . El nombre deriva de las formas de los diagramas de circuitos , que se parecen respectivamente a la letra Y y a la letra mayúscula griega Δ . Esta teoría de transformación de circuitos fue publicada por Arthur Edwin Kennelly en 1899. ^[1] Se utiliza ampliamente en el análisis de circuitos de potencia eléctrica trifásica .

La transformación Y-Δ puede considerarse un caso especial de la transformación en estrella para tres resistencias . En matemáticas, la transformación Y-Δ desempeña un papel importante en la teoría de grafos circulares planos . ^[2]

Nombres

Ilustración de la transformada en su representación T-Π.

La transformación Y-Δ se conoce con otros nombres, en su mayoría basados ​​en las dos formas involucradas, que se enumeran en cualquier orden. La Y , escrita como wye , también se puede llamar T o estrella ; la Δ , escrita como delta , también se puede llamar triángulo , Π (escrita como pi ) o malla . Por lo tanto, los nombres comunes para la transformación incluyen wye-delta o delta-wye , estrella-delta , estrella-malla o T-Π .

Transformación básica Y-Δ

Circuitos Δ e Y con las etiquetas que se utilizan en este artículo.

La transformación se utiliza para establecer la equivalencia de redes con tres terminales. Cuando tres elementos terminan en un nodo común y ninguno es fuente, el nodo se elimina transformando las impedancias. Para la equivalencia, la impedancia entre cualquier par de terminales debe ser la misma para ambas redes. Las ecuaciones que se dan aquí son válidas tanto para impedancias complejas como reales. La impedancia compleja es una cantidad medida en ohmios que representa la resistencia como números reales positivos de la manera habitual, y también representa la reactancia como valores imaginarios positivos y negativos .

Ecuaciones para la transformación de Δ a Y

La idea general es calcular la impedancia en un nodo terminal del circuito Y con impedancias , hacia los nodos adyacentes en el circuito Δ mediante ${\displaystyle R_{\text{Y}}}$ ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle R''}$

${\displaystyle R_{\text{Y}}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}$

donde están todas las impedancias en el circuito Δ. Esto produce la fórmula específica ${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}$

Ecuaciones para la transformación de Y a Δ

La idea general es calcular una impedancia en el circuito Δ mediante ${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{opposite}}}}}$

donde es la suma de los productos de todos los pares de impedancias en el circuito Y y es la impedancia del nodo en el circuito Y que está opuesto al borde con . Las fórmulas para los bordes individuales son, por lo tanto, ${\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}$ ${\displaystyle R_{\text{opposite}}}$ ${\displaystyle R_{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}$

O bien, si se utiliza la admisión en lugar de la resistencia:

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que la fórmula general de Y a Δ usando la admitancia es similar a Δ a Y usando la resistencia.

Una prueba de la existencia y unicidad de la transformación

La viabilidad de la transformación se puede demostrar como consecuencia del teorema de superposición para circuitos eléctricos . A continuación se puede dar una prueba corta, en lugar de una derivada como corolario de la transformada de malla en estrella más general. La equivalencia radica en la afirmación de que para cualquier voltaje externo ( y ) que se aplica en los tres nodos ( y ), las corrientes correspondientes ( y ) son exactamente las mismas para los circuitos Y y Δ, y viceversa. En esta prueba, comenzamos con corrientes externas dadas en los nodos. Según el teorema de superposición, los voltajes se pueden obtener estudiando la superposición de los voltajes resultantes en los nodos de los siguientes tres problemas aplicados en los tres nodos con corriente: ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle V_{3}}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2}}$ ${\displaystyle N_{3}}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

1. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),0}$
2. ${\displaystyle 0,{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right)}$y
3. ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right),0,{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right)}$

La equivalencia se puede demostrar fácilmente utilizando las leyes de circuitos de Kirchhoff , que . Ahora bien, cada problema es relativamente simple, ya que implica una única fuente de corriente ideal. Para obtener exactamente los mismos voltajes resultantes en los nodos para cada problema, las resistencias equivalentes en los dos circuitos deben ser las mismas, esto se puede encontrar fácilmente utilizando las reglas básicas de los circuitos en serie y en paralelo : ${\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}=0}$

${\displaystyle R_{3}+R_{1}={\frac {\left(R_{\text{c}}+R_{\text{a}}\right)R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}},\quad {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{\text{a}}}{R_{\text{c}}}}.}$

Aunque normalmente seis ecuaciones son más que suficientes para expresar tres variables ( ) en términos de las otras tres variables ( ), aquí es sencillo demostrar que estas ecuaciones de hecho conducen a las expresiones diseñadas anteriormente. ${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}$ ${\displaystyle R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}}$

De hecho, el teorema de superposición establece la relación entre los valores de las resistencias, el teorema de unicidad garantiza la unicidad de dicha solución.

Simplificación de redes

Las redes resistivas entre dos terminales se pueden simplificar teóricamente a una única resistencia equivalente (en términos más generales, lo mismo se aplica a la impedancia). Las transformaciones en serie y en paralelo son herramientas básicas para hacerlo, pero para redes complejas como el puente ilustrado aquí, no son suficientes.

La transformada Y-Δ se puede utilizar para eliminar un nodo a la vez y producir una red que se puede simplificar aún más, como se muestra.

La transformación de una red de resistencias de puente, utilizando la transformada Y-Δ para eliminar el nodo D , produce una red equivalente que puede simplificarse aún más fácilmente.

La transformación inversa, Δ-Y, que agrega un nodo, suele ser útil también para allanar el camino para una mayor simplificación.

La transformación de una red de resistencias de puente, utilizando la transformada Δ-Y, también produce una red equivalente que puede simplificarse aún más fácilmente.

Toda red de dos terminales representada por un gráfico planar se puede reducir a una única resistencia equivalente mediante una secuencia de transformaciones en serie, en paralelo, Y-Δ y Δ-Y. ^[3] Sin embargo, hay redes no planas que no se pueden simplificar utilizando estas transformaciones, como una cuadrícula regular envuelta alrededor de un toro o cualquier miembro de la familia Petersen .

Teoría de grafos

En teoría de grafos , la transformación Y-Δ implica reemplazar un subgrafo Y de un grafo por el subgrafo Δ equivalente. La transformación conserva el número de aristas de un grafo, pero no el número de vértices ni el número de ciclos . Se dice que dos grafos son equivalentes Y-Δ si uno puede obtenerse del otro mediante una serie de transformadas Y-Δ en cualquier dirección. Por ejemplo, la familia Petersen es una clase de equivalencia Y-Δ .

Demostración

Ecuaciones de transformación de carga Δ a carga Y

Circuitos Δ e Y con las etiquetas que se utilizan en este artículo.

Para relacionar Δ con Y, se compara la impedancia entre dos nodos correspondientes. La impedancia en cualquiera de las configuraciones se determina como si uno de los nodos estuviera desconectado del circuito. ${\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}$

La impedancia entre N ₁ y N ₂ con N ₃ desconectado en Δ:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}$

Para simplificar, sea la suma de . ${\displaystyle R_{\text{T}}}$ ${\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}$

${\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$

De este modo,

${\displaystyle R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}$

La impedancia correspondiente entre N ₁ y N ₂ en Y es simple:

${\displaystyle R_{\text{Y}}\left(N_{1},N_{2}\right)=R_{1}+R_{2}}$

por eso:

${\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}$   (1)

Repitiendo para : ${\displaystyle R(N_{2},N_{3})}$

${\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}}$   (2)

y para : ${\displaystyle R\left(N_{1},N_{3}\right)}$

${\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{\text{b}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}}}.}$   (3)

A partir de aquí, los valores de pueden determinarse mediante combinación lineal (suma y/o resta). ${\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}$

Por ejemplo, sumar (1) y (3) y luego restar (2) da como resultado

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{aligned}}}$

Para completar:

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$ (4)

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$ (5)

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}}$ (6)

Ecuaciones de transformación de carga Y a carga Δ

Dejar

${\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$.

Podemos escribir las ecuaciones Δ a Y como

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$   (1)

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}$   (2)

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}.}$   (3)

Multiplicando los pares de ecuaciones obtenemos

${\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (4)

${\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (5)

${\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (6)

y la suma de estas ecuaciones es

${\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}+R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}+R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}$   (7)

Factoriza del lado derecho, dejando en el numerador, cancelando con un en el denominador. ${\displaystyle R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}$ ${\displaystyle R_{\text{T}}}$ ${\displaystyle R_{\text{T}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}&={}{\frac {\left(R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}\right)\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}^{2}}}\\&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\end{aligned}}}$ (8)

Nótese la similitud entre (8) y {(1), (2), (3)}

Dividir (8) por (1)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}{\frac {R_{\text{T}}}{R_{\text{b}}R_{\text{c}}}}\\&={}R_{\text{a}},\end{aligned}}}$

cual es la ecuación para . Dividiendo (8) por (2) o (3) (expresiones para o ) se obtienen las ecuaciones restantes. ${\displaystyle R_{\text{a}}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$

Transformación de Δ a Y de un generador práctico

Durante el análisis de sistemas de potencia trifásicos equilibrados , por su simplicidad, se suele analizar un circuito equivalente por fase (o monofásico). Para ello, se utilizan conexiones en estrella equivalentes para generadores , transformadores , cargas y motores . Los devanados del estator de un generador trifásico práctico conectado en delta, que se muestra en la siguiente figura, se pueden convertir en un generador equivalente conectado en estrella, utilizando las seis fórmulas siguientes ^[a] :

Generador práctico conectado en delta/triángulo/pi. Las magnitudes mostradas son voltajes fasoriales e impedancias complejas. Haga clic en la imagen para ampliarla.

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{s1Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s2Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s2}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s3Y}}={\dfrac {Z_{\text{s2}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&V_{\text{s1Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}-{\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}\right)Z_{\text{s1Y}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}-{\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}\right)Z_{\text{s2Y}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}-{\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}\right)Z_{\text{s3Y}}\end{aligned}}}$

La red resultante es la siguiente. El nodo neutro de la red equivalente es ficticio, al igual que las tensiones fasoriales de línea a neutro. Durante la transformación, las corrientes fasoriales de línea y las tensiones fasoriales de línea (o de línea a línea o de fase a fase) no se modifican.

Generador práctico equivalente conectado en estrella/Y/T. Haga clic en la imagen para ampliarla.

Si el generador delta real está equilibrado, lo que significa que los voltajes fasoriales internos tienen la misma magnitud y están desfasados ​​120° entre sí y las tres impedancias complejas son las mismas, entonces las fórmulas anteriores se reducen a las cuatro siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{sY}}={\dfrac {Z_{\text{s}}}{3}}\\&V_{\text{s1Y}}={\dfrac {V_{\text{s1}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}={\dfrac {V_{\text{s2}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}={\dfrac {V_{\text{s3}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\end{aligned}}}$

donde para las últimas tres ecuaciones, se utiliza el primer signo (+) si la secuencia de fases es positiva/ abc o el segundo signo (−) si la secuencia de fases es negativa/ acb .

Véase también

• Transformación de malla estelar
• Análisis de redes (circuitos eléctricos)
• Red eléctrica , potencia trifásica , sistemas polifásicos para ejemplos de conexiones Y y Δ
• Motor de CA para una discusión de la técnica de arranque Y-Δ

Referencias

1. Kennelly, AE (1899). "Equivalencia de triángulos y estrellas de tres puntas en redes conductoras". Electrical World and Engineer . 34 : 413–414.
2. Curtis, EB; Ingerman, D.; Morrow, JA (1998). "Gráficos circulares planos y redes de resistencias". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 283 (1–3): 115–150. doi : 10.1016/S0024-3795(98)10087-3 .
3. Truemper, K. (1989). "Sobre la reducción delta-wye para grafos planares". Journal of Graph Theory . 13 (2): 141–148. doi :10.1002/jgt.3190130202.

Notas

1. Para una demostración, lea la página de discusión .

Bibliografía

• William Stevenson, Elementos del análisis de sistemas de potencia, 3.ª ed., McGraw Hill, Nueva York, 1975, ISBN 0-07-061285-4 

Enlaces externos

• Conversión de estrella a triángulo: conocimientos sobre redes resistivas y resistencias
• Calculadora de la transformada estrella-triángulo