función inyectiva

Función que preserva la distinción

En matemáticas , una función inyectiva (también conocida como inyección o función uno a uno ^[1] ) es una función f que asigna distintos elementos de su dominio a distintos elementos; es decir, x ₁ ≠ x ₂ implica f ( x ₁ ) ≠ f ( x ₂ ) . (De manera equivalente, f ( x ₁ ) = f ( x ₂ ) implica x ₁ = x ₂ en el enunciado contrapositivo equivalente .) En otras palabras, cada elemento del codominio de la función es la imagen de como máximo un elemento de su dominio . ^[2] El término función uno a uno no debe confundirse con la correspondencia uno a uno que se refiere a funciones biyectivas , que son funciones tales que cada elemento en el codominio es una imagen de exactamente un elemento en el dominio.

Un homomorfismo entre estructuras algebraicas es una función que es compatible con las operaciones de las estructuras. Para todas las estructuras algebraicas comunes y, en particular, para los espacios vectoriales , un homomorfismo inyectivo también se denomina monomorfismo . Sin embargo, en el contexto más general de la teoría de categorías , la definición de monomorfismo difiere de la de homomorfismo inyectivo. ^[3] Este es, por tanto, un teorema de que son equivalentes para estructuras algebraicas; consulte Homomorfismo § Monomorfismo para más detalles.

Una función que no es inyectiva a veces se denomina muchos a uno. ^[2] ${\displaystyle f}$

Definición

Una función inyectiva, que no es también sobreyectiva.

Sea una función cuyo dominio es un conjunto. Se dice que la función es inyectiva siempre que para todos y en si entonces ; es decir, implica Equivalentemente, si entonces en el enunciado contrapositivo . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(a)=f(b),}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle a=b.}$ ${\displaystyle a\neq b,}$ ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$

Simbólicamente,

$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}$$

contrapositivo^[4]

$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}$$

Ejemplos

Para ver ejemplos visuales, los lectores son dirigidos a la sección de galería.

• Para cualquier conjunto y subconjunto, el mapa de inclusión (que envía cualquier elemento a sí mismo) es inyectivo. En particular, la función de identidad es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle X\to X}$
• Si el dominio de una función es el conjunto vacío , entonces la función es la función vacía , que es inyectiva.
• Si el dominio de una función tiene un elemento (es decir, es un conjunto singleton ), entonces la función siempre es inyectiva.
• La función definida por es inyectiva. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=2x+1}$
• La función definida por no es inyectiva, porque (por ejemplo) Sin embargo, si se redefine para que su dominio sean los números reales no negativos [0,+∞), entonces es inyectiva. ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle g(1)=1=g(-1).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$
• La función exponencial definida por es inyectiva (pero no sobreyectiva, ya que ningún valor real se asigna a un número negativo). ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$
• La función logaritmo natural definida por es inyectiva. ${\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \ln x}$
• La función definida por no es inyectiva, ya que, por ejemplo, ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{n}-x}$ ${\displaystyle g(0)=g(1)=0.}$

De manera más general, cuando y son ambas líneas reales , entonces una función inyectiva es aquella cuya gráfica nunca es intersectada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como prueba de la línea horizontal . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Las inyecciones se pueden deshacer

Las funciones con inversas izquierdas son siempre inyecciones. Es decir, dado que existe una función tal que para cada , entonces es inyectiva. En este caso, se llama retracción de Por el contrario, se llama sección de ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Por el contrario, cada inyección con un dominio no vacío tiene una inversa izquierda . Se puede definir eligiendo un elemento en el dominio de y estableciendo el elemento único de la preimagen (si no está vacía) o (en caso contrario). ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}[y]}$ ${\displaystyle a}$

La inversa izquierda no es necesariamente una inversa porque la composición en el otro orden puede diferir de la identidad en En otras palabras, una función inyectiva puede ser "invertida" por una inversa izquierda, pero no es necesariamente invertible , lo que requiere que la La función es biyectiva. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f\circ g,}$ ${\displaystyle Y.}$

Las inyecciones pueden hacerse reversibles.

De hecho, para convertir una función inyectiva en una función biyectiva (por lo tanto invertible), basta con reemplazar su codominio por su rango real. Es decir, sea tal que para todos ; entonces es biyectivo. De hecho, se puede factorizar desde dónde está la función de inclusión en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J=f(X).}$ ${\displaystyle g:X\to J}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Y.}$

De manera más general, las funciones parciales inyectivas se denominan biyecciones parciales .

Otras propiedades

La composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.

• Si y son ambos inyectivos, entonces es inyectivo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$
• Si es inyectivo, entonces es inyectivo (pero no es necesario que lo sea). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f:X\to Y}$es inyectiva si y sólo si, dada alguna función siempre que entonces En otras palabras, las funciones inyectivas son precisamente los monomorfismos en la categoría Conjunto de conjuntos. ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h:W\to X}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ ${\displaystyle g=h.}$
• Si es inyectivo y es un subconjunto de entonces , por lo tanto, se puede recuperar a partir de su imagen. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$
• Si es inyectivo y y son ambos subconjuntos de entonces ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).}$
• Cada función se puede descomponer como para una inyección y sobreyección adecuadas. Esta descomposición es única hasta el isomorfismo y puede considerarse como la función de inclusión del rango de como un subconjunto del codominio de ${\displaystyle h:W\to Y}$ ${\displaystyle h=f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(W)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h.}$
• Si es una función inyectiva, entonces tiene al menos tantos elementos como en el sentido de los números cardinales . En particular, si además hay una inyección desde hasta entonces y tienen el mismo número cardinal. (Esto se conoce como teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Si ambos y son finitos con el mismo número de elementos, entonces es inyectivo si y sólo si es sobreyectivo (en cuyo caso es biyectivo). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Una función inyectiva que es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas es una incrustación .
• A diferencia de la sobreyectividad, que es una relación entre la gráfica de una función y su codominio, la inyectividad es una propiedad únicamente de la gráfica de la función; es decir, si una función es inyectiva se puede decidir considerando únicamente la gráfica (y no el codominio) de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$

Demostrando que las funciones son inyectivas

Una prueba de que una función es inyectiva depende de cómo se presenta la función y qué propiedades tiene. Para funciones que vienen dadas por alguna fórmula existe una idea básica. Usamos la definición de inyectividad, es decir, que si entonces ^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y),}$ ${\displaystyle x=y.}$

Aquí hay un ejemplo:

$${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

Prueba: Supongamos que So implica lo que implica Por lo tanto, de la definición se deduce que es inyectivo. ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle f(x)=f(y).}$ ${\displaystyle 2x+3=2y+3}$ ${\displaystyle 2x=2y,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle f}$

Existen muchos otros métodos para demostrar que una función es inyectiva. Por ejemplo, en cálculo, si es una función diferenciable definida en algún intervalo, entonces es suficiente demostrar que la derivada es siempre positiva o siempre negativa en ese intervalo. En álgebra lineal, si se trata de una transformación lineal, basta con demostrar que el núcleo de contiene sólo el vector cero. Si es una función con dominio finito, basta con mirar la lista de imágenes de cada elemento del dominio y comprobar que ninguna imagen aparece dos veces en la lista. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Un enfoque gráfico para una función de valor real de una variable real es la prueba de la línea horizontal . Si cada línea horizontal corta la curva de como máximo en un punto, entonces es inyectiva o uno a uno. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$

Galería

• 
  Una función inyectiva no sobreyectiva (inyección, no biyección)
• 
  Una función sobreyectiva inyectiva (biyección)
• 
  Una función sobreyectiva no inyectiva (sobreyección, no biyección)
• 
  Una función no inyectiva, no sobreyectiva (tampoco es una biyección)

• 
  No es una función inyectiva. Aquí y son subconjuntos de y son subconjuntos de : para dos regiones donde la función no es inyectiva porque más de un elemento de dominio puede asignarse a un único elemento de rango. Es decir, es posible que más de uno se asigne al mismo ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  Hacer funciones inyectivas. La función anterior se puede reducir a una o más funciones inyectivas (por ejemplo) y mostrarse mediante curvas sólidas (las partes de guiones largos de la curva inicial ya no se asignan). Observe cómo la regla no ha cambiado: sólo el dominio y el rango. y son subconjuntos de y son subconjuntos de : para dos regiones donde la función inicial puede hacerse inyectiva de modo que un elemento de dominio pueda asignarse a un único elemento de rango. Es decir, sólo uno en se asigna a uno en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X_{1}\to Y_{1}}$ ${\displaystyle f:X_{2}\to Y_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  Funciones inyectivas. Interpretación esquemática en el plano cartesiano , definida por el mapeo donde dominio de función , rango de función y denota imagen de Cada uno en se aplica exactamente a uno único en Las partes encerradas en un círculo de los ejes representan conjuntos de dominio y rango, de acuerdo con el estándar diagramas arriba ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle Y=}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$

Ver también

• Biyección, inyección y sobreyección  – Propiedades de funciones matemáticas
• Espacio métrico inyectivo  – Tipo de espacio métrico
• Función monótona  : función matemática que preserva el orden
• Función univalente  – concepto matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. A veces función uno uno , en la educación matemática india. «Capítulo 1: Relaciones y funciones» (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 26 de diciembre de 2023, a través de NCERT.
2. "Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva". La matematica es divertida . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
3. "Sección 7.3 (00V5): Mapas inyectivos y sobreyectivos de presheaves". El proyecto Pilas . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
4. Farlow, SJ "Sección 4.2 Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" (PDF) . Matemáticas y Estadística - Universidad de Maine . Archivado desde el original (PDF) el 7 de diciembre de 2019 . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
5. A diferencia de la afirmación correspondiente de que toda función sobreyectiva tiene un inverso derecho, esto no requiere el axioma de elección , ya que la existencia de está implícita en el hecho de que el dominio no está vacío. Sin embargo, esta afirmación puede fallar en matemáticas menos convencionales como las matemáticas constructivas . En matemáticas constructivas, la inclusión del conjunto de dos elementos en los reales no puede tener inversa izquierda, ya que violaría la indescomponibilidad , al dar una retracción de la línea real al conjunto {0,1}. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{0,1\}\to \mathbb {R} }$
6. Williams, Peter (21 de agosto de 1996). "Demostración de funciones uno a uno". Página de notas de referencia del Departamento de Matemáticas de CSU San Bernardino . Archivado desde el original el 4 de junio de 2017.

Referencias

• Bartle, Robert G. (1976), Los elementos del análisis real (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, pag. 17 y sigs .
• Halmos, Paul R. (1974), Teoría ingenua de conjuntos , Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, pag. 38 y sigs .

enlaces externos

• Usos más tempranos de algunas de las palabras de Matemáticas: la entrada sobre Inyección, Suryección y Biyección tiene la historia de la Inyección y términos relacionados.
• Khan Academy – Funciones sobreyectivas (sobre) e inyectivas (uno a uno): Introducción a las funciones sobreyectivas e inyectivas