Transformación unitaria

Endomorfismo que preserva el producto interno

En matemáticas, una transformación unitaria es un isomorfismo lineal que preserva el producto interno : el producto interno de dos vectores antes de la transformación es igual a su producto interno después de la transformación.

Definición formal

Más precisamente, una transformación unitaria es un isomorfismo isométrico entre dos espacios de producto interno (como los espacios de Hilbert ). En otras palabras, una transformación unitaria es una función biyectiva.

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$

entre dos espacios de productos internos, y tal que ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2},}$

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H_{2}}=\langle x,y\rangle _{H_{1}}\quad {\text{ for all }}x,y\in H_{1}.}$

Es una isometría lineal , como se puede ver al configurar ${\displaystyle x=y.}$

Operador unitario

En el caso en que y son el mismo espacio, una transformación unitaria es un automorfismo de ese espacio de Hilbert, y entonces también se llama operador unitario . ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Transformación antiunitaria

Una noción estrechamente relacionada es la de transformación antiunitaria , que es una función biyectiva.

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

entre dos espacios de Hilbert complejos tales que

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$

para todos y en , donde la barra horizontal representa el complejo conjugado . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H_{1}}$

Véase también

• Antiunitario
• Transformación ortogonal
• Inversión del tiempo
• Grupo unitario
• Operador unitario
• Matriz unitaria
• Teorema de Wigner
• Transformaciones unitarias en mecánica cuántica