Matriz de transferencia

En matemáticas aplicadas , la matriz de transferencia es una formulación en términos de una matriz de bloques de Toeplitz de la ecuación de dos escalas, que caracteriza a las funciones refinables . Las funciones refinables desempeñan un papel importante en la teoría de wavelets y la teoría de elementos finitos .

Para la máscara , que es un vector con índices de componentes de a , la matriz de transferencia de , la llamamos aquí, se define como ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle T_{h}}$

${\displaystyle (T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot j-k}.}$

Más verbosamente

${\displaystyle T_{h}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.}$

El efecto de se puede expresar en términos del operador de submuestreo " ": ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \downarrow }$

${\displaystyle T_{h}\cdot x=(h*x)\downarrow 2.}$

Propiedades

• ${\displaystyle T_{h}\cdot x=T_{x}\cdot h}$.
• Si eliminas la primera y la última columna y mueves las columnas de índice impar hacia la izquierda y las columnas de índice par hacia la derecha, obtienes una matriz de Sylvester transpuesta .
• El determinante de una matriz de transferencia es esencialmente una resultante.

  Más precisamente:

  Sean los coeficientes de índice par de ( ) y sean los coeficientes de índice impar de ( ). ${\displaystyle h_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h_{\mathrm {e} })_{k}=h_{2k}}$ ${\displaystyle h_{\mathrm {o} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h_{\mathrm {o} })_{k}=h_{2k+1}}$

  Entonces , donde es la resultante . ${\displaystyle \det T_{h}=(-1)^{\lfloor {\frac {b-a+1}{4}}\rfloor }\cdot h_{a}\cdot h_{b}\cdot \mathrm {res} (h_{\mathrm {e} },h_{\mathrm {o} })}$ ${\displaystyle \mathrm {res} }$

  Esta conexión permite un cálculo rápido utilizando el algoritmo euclidiano .
• Para la traza de la matriz de transferencia de máscaras convolucionadas se cumple
  ${\displaystyle \mathrm {tr} ~T_{g*h}=\mathrm {tr} ~T_{g}\cdot \mathrm {tr} ~T_{h}}$
• Para el determinante de la matriz de transferencia de la máscara convolucionada se cumple

  ${\displaystyle \det T_{g*h}=\det T_{g}\cdot \det T_{h}\cdot \mathrm {res} (g_{-},h)}$

  donde denota la máscara con signos alternados, es decir . ${\displaystyle g_{-}}$ ${\displaystyle (g_{-})_{k}=(-1)^{k}\cdot g_{k}}$
• Si , entonces . ${\displaystyle T_{h}\cdot x=0}$ ${\displaystyle T_{g*h}\cdot (g_{-}*x)=0}$
  Esta es una concreción de la propiedad determinante anterior. A partir de la propiedad determinante se sabe que es singular siempre que sea singular. Esta propiedad también indica cómo los vectores del espacio nulo de pueden convertirse en vectores del espacio nulo de . ${\displaystyle T_{g*h}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle T_{g*h}}$
• Si es un vector propio de con respecto al valor propio , es decir ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda }$

  ${\displaystyle T_{h}\cdot x=\lambda \cdot x}$,

  entonces es un vector propio de con respecto al mismo valor propio, es decir ${\displaystyle x*(1,-1)}$ ${\displaystyle T_{h*(1,1)}}$

  ${\displaystyle T_{h*(1,1)}\cdot (x*(1,-1))=\lambda \cdot (x*(1,-1))}$.
• Sean los valores propios de , lo que implica y de manera más general . Esta suma es útil para estimar el radio espectral de . Existe una posibilidad alternativa para calcular la suma de las potencias de los valores propios, que es más rápida para valores pequeños . ${\displaystyle \lambda _{a},\dots ,\lambda _{b}}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}+\dots +\lambda _{b}=\mathrm {tr} ~T_{h}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}^{n}+\dots +\lambda _{b}^{n}=\mathrm {tr} (T_{h}^{n})}$ ${\displaystyle T_{h}}$ ${\displaystyle n}$

  Sea la periodización de con respecto al período . Es decir, es un filtro circular, lo que significa que los índices de los componentes son clases de residuos con respecto al módulo . Entonces, con el operador de sobremuestreo se cumple ${\displaystyle C_{k}h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle C_{k}h}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle \uparrow }$

  ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{h}^{n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2)*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h\uparrow 2^{n-1})\right)_{[0]_{2^{n}-1}}}$

  En realidad, no son necesarias las convoluciones, sino solo unas, cuando se aplica la estrategia de cálculo eficiente de potencias. Además, el enfoque se puede acelerar aún más utilizando la transformada rápida de Fourier . ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle 2\cdot \log _{2}n}$
• De la afirmación anterior podemos derivar una estimación del radio espectral de . Se cumple ${\displaystyle \varrho (T_{h})}$

  ${\displaystyle \varrho (T_{h})\geq {\frac {a}{\sqrt {\#h}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {3\cdot \#h}}}}$

  donde es el tamaño del filtro y si todos los valores propios son reales, también es cierto que ${\displaystyle \#h}$

  ${\displaystyle \varrho (T_{h})\leq a}$,

  dónde . ${\displaystyle a=\Vert C_{2}h\Vert _{2}}$

Véase también

• Determinante de Hurwitz

Referencias

• Strang, Gilbert (1996). "Valores propios y convergencia del algoritmo en cascada". IEEE Transactions on Signal Processing . 44 : 233–238. doi :10.1109/78.485920. ${\displaystyle (\downarrow 2){H}}$
• Thielemann, Henning (2006). Wavelets óptimamente emparejados (tesis doctoral).(contiene pruebas de las propiedades anteriores)