En geometría , el axioma de Pasch es una afirmación en geometría plana , utilizada implícitamente por Euclides , que no puede derivarse de los postulados tal como los dio Euclides. [1] Su papel esencial fue descubierto por Moritz Pasch en 1882. [2]
El axioma establece que, [3]
Axioma de Pasch : Sean A , B , C tres puntos que no se encuentran en una recta y sea a una recta en el plano ABC que no corta a ninguno de los puntos A , B , C. Si la recta a pasa por un punto del segmento AB , también pasa por un punto del segmento AC , o por un punto del segmento BC .
El hecho de que los segmentos AC y BC no sean ambos cortados por la recta a se prueba en el Suplemento I,1, escrito por P. Bernays . [4]
Una versión más moderna de este axioma es la siguiente: [5]
Una versión más moderna del axioma de Pasch : en el plano, si una línea interseca un lado de un triángulo internamente , entonces interseca precisamente otro lado internamente y el tercer lado externamente , si no pasa por un vértice del triángulo.
(En caso de que el tercer lado sea paralelo a nuestra línea, contamos una "intersección en el infinito" como externa). A menudo se ve una versión más informal del axioma:
Una versión más informal del axioma de Pasch : si una línea que no pasa por ningún vértice de un triángulo toca un lado del triángulo, entonces toca otro lado.
Pasch publicó este axioma en 1882, [2] y demostró que los axiomas de Euclides estaban incompletos. El axioma fue parte del enfoque de Pasch para introducir el concepto de orden en la geometría plana.
En otros tratamientos de geometría elemental, utilizando diferentes conjuntos de axiomas, el axioma de Pasch puede demostrarse como un teorema; [6] es una consecuencia del axioma de separación de planos cuando se toma como uno de los axiomas. Hilbert utiliza el axioma de Pasch en su tratamiento axiomático de la geometría euclidiana . [7] Dados los axiomas restantes en el sistema de Hilbert, se puede demostrar que el axioma de Pasch es lógicamente equivalente al axioma de separación de planos. [8]
David Hilbert utiliza el axioma de Pasch en su libro Fundamentos de la geometría , que proporciona una base axiomática para la geometría euclidiana. Según la edición, lleva el número II.4 o II.5. [7] Su declaración se da arriba.
En el tratamiento de Hilbert, este axioma aparece en la sección relativa a los axiomas de orden y se denomina axioma de orden plano . Como no expresa el axioma en términos de los lados de un triángulo (considerados como rectas y no como segmentos de recta), no hay necesidad de hablar de intersecciones internas y externas de la recta a con los lados del triángulo ABC .
El axioma de Pasch es distinto del teorema de Pasch , que es una afirmación sobre el orden de cuatro puntos en una línea. Sin embargo, en la literatura hay muchos casos en los que el axioma de Pasch se denomina teorema de Pasch. Un ejemplo notable de esto es Greenberg (1974, p. 67).
El axioma de Pasch no debe confundirse con el axioma de Veblen-Young para la geometría proyectiva , [9] que puede expresarse como:
Axioma de Veblen-Young para geometría proyectiva : si una línea corta dos lados de un triángulo, también corta el tercer lado.
No se mencionan las intersecciones internas y externas en el enunciado del axioma de Veblen-Young, que sólo se ocupa de la propiedad de incidencia de las líneas que se encuentran. En geometría proyectiva, el concepto de intermediación (necesario para definir lo interno y lo externo) no es válido y todas las líneas se encuentran (por lo que no surge la cuestión de las líneas paralelas).