Coordenadas toroidales y poloidales

Sistema de coordenadas relativo a un toro

Un diagrama que representa la dirección poloidal ( θ ), representada por la flecha roja, y la dirección toroidal ( ζ o φ ), representada por la flecha azul.

Los términos toroidal y poloidal se refieren a direcciones relativas a un toro de referencia. Describen un sistema de coordenadas tridimensional en el que la dirección poloidal sigue un pequeño anillo circular alrededor de la superficie, mientras que la dirección toroidal sigue un gran anillo circular alrededor del toro, rodeando el vacío central.

El primer uso de estos términos citado por el Oxford English Dictionary es de Walter M. Elsasser (1946) en el contexto de la generación del campo magnético de la Tierra por corrientes en el núcleo, siendo "toroidal" paralelo a líneas de latitud constante y "poloidal" en la dirección del campo magnético (es decir, hacia los polos ).

El OED también registra el uso posterior de estos términos en el contexto de plasmas confinados toroidalmente, como los que se encuentran en la fusión por confinamiento magnético . En el contexto del plasma, la dirección toroidal es el camino largo alrededor del toro, la coordenada correspondiente se denota por z en la aproximación de losa o ζ o φ en coordenadas magnéticas; la dirección poloidal es el camino corto alrededor del toro, la coordenada correspondiente se denota por y en la aproximación de losa o θ en coordenadas magnéticas. (La tercera dirección, normal a las superficies magnéticas, a menudo se llama "dirección radial", denotada por x en la aproximación de losa y de diversas formas ψ , χ , r , ρ o s en coordenadas magnéticas).

Ejemplo

Como ejemplo simple de la física de plasmas confinados magnéticamente, considere un sistema axisimétrico con superficies de flujo magnético concéntricas y circulares de radio (una aproximación rudimentaria a la geometría del campo magnético en un tokamak temprano pero topológicamente equivalente a cualquier sistema de confinamiento magnético toroidal con superficies de flujo anidadas) y denote el ángulo toroidal por y el ángulo poloidal por . Entonces, el sistema de coordenadas toroidal/poloidal se relaciona con las coordenadas cartesianas estándar mediante estas reglas de transformación: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x=(R_{0}+r\cos \theta )\cos \zeta }$

${\displaystyle y=s_{\zeta }(R_{0}+r\cos \theta )\sin \zeta }$

${\displaystyle z=s_{\theta }r\sin \theta .}$

dónde . ${\displaystyle s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1}$

La elección natural geométricamente es tomar , dando las direcciones toroidales y poloidales mostradas por las flechas en la figura anterior, pero esto produce un sistema de coordenadas curvilíneas zurdas. Como generalmente se supone al establecer coordenadas de flujo para describir plasmas confinados magnéticamente que el conjunto forma un sistema de coordenadas diestro , , debemos invertir la dirección poloidal tomando , o invertir la dirección toroidal tomando . Ambas opciones se utilizan en la literatura. ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$ ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$ ${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$ ${\displaystyle s_{\theta }=-1,s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle s_{\theta }=+1,s_{\zeta }=-1}$

Cinemática

Para estudiar el movimiento de partículas individuales en dispositivos de plasma confinados toroidalmente, se deben conocer los vectores de velocidad y aceleración. Considerando la elección natural , los vectores unitarios del sistema de coordenadas toroidales y polóides se pueden expresar como: ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$

Según coordenadas cartesianas, el vector de posición se expresa como:

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{\theta }}$

El vector de velocidad viene dado por:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

y el vector de aceleración es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} ={}&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{aligned}}}$

Véase también

• Coordenadas toroidales
• Toro
• Zonal y poloidal
• Descomposición poloidal-toroidal
• Flujo zonal (plasma)

Referencias

• "Oxford English Dictionary Online". poloidal . Oxford University Press . Consultado el 10 de agosto de 2007 .
• Elsasser, WM (1946). "Induction Effects in Terrestrial Magnetism, Part I. Theory". Phys. Rev. 69 (3–4): 106–116. doi :10.1103/PhysRev.69.106 . Consultado el 10 de agosto de 2007 .