Coordenadas toroidales y poloidales.

Sistema de coordenadas relativo a un toroide

Un diagrama que representa la dirección poloidal ( θ ), representada por la flecha roja, y la dirección toroidal ( ζ o φ ), representada por la flecha azul.

Los términos toroidal y poloidal se refieren a direcciones relativas a un toro de referencia. Describen un sistema de coordenadas tridimensional en el que la dirección poloidal sigue un pequeño anillo circular alrededor de la superficie, mientras que la dirección toroidal sigue un gran anillo circular alrededor del toro, rodeando el vacío central.

El primer uso de estos términos citado por el Oxford English Dictionary es el de Walter M. Elsasser (1946) en el contexto de la generación del campo magnético de la Tierra por corrientes en el núcleo, siendo "toroidal" paralelo a líneas de latitud constante y "poloidal" está en la dirección del campo magnético (es decir, hacia los polos ).

El OED también registra el uso posterior de estos términos en el contexto de plasmas confinados toroidalmente, como los que se encuentran en la fusión por confinamiento magnético . En el contexto del plasma, la dirección toroidal es el camino más largo alrededor del toro, y la coordenada correspondiente se denota por z en la aproximación de losa o ζ o φ en coordenadas magnéticas; la dirección poloidal es el camino corto alrededor del toro, y la coordenada correspondiente se denota por y en la aproximación de losa o θ en coordenadas magnéticas. (La tercera dirección, normal a las superficies magnéticas, a menudo se denomina "dirección radial", denotada por x en la aproximación de losa y de diversas formas ψ , χ , r , ρ o s en coordenadas magnéticas).

Ejemplo

Como ejemplo simple de la física de plasmas confinados magnéticamente, considere un sistema axisimétrico con superficies de flujo magnético circulares y concéntricas de radio (una aproximación burda a la geometría del campo magnético en un tokamak temprano pero topológicamente equivalente a cualquier sistema de confinamiento magnético toroidal con flujo anidado). superficies) y denotamos el ángulo toroidal por y el ángulo poloidal por . Entonces el sistema de coordenadas toroidales/poloidales se relaciona con las coordenadas cartesianas estándar mediante estas reglas de transformación: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x=(R_{0}+r\cos \theta )\cos \zeta }$

${\displaystyle y=s_{\zeta }(R_{0}+r\cos \theta )\sin \zeta }$

${\displaystyle z=s_{\theta }r\sin \theta .}$

dónde . ${\displaystyle s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1}$

La elección natural desde el punto de vista geométrico es tomar , dando las direcciones toroidales y poloidales mostradas por las flechas en la figura anterior, pero esto genera un sistema de coordenadas curvilíneo hacia la izquierda. Como generalmente se supone al establecer coordenadas de flujo para describir plasmas confinados magnéticamente, el conjunto forma un sistema de coordenadas diestro , debemos invertir la dirección poloidal tomando , o invertir la dirección toroidal tomando . Ambas opciones se utilizan en la literatura. ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$ ${\displaystyle r,\theta ,\zeta }$ ${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$ ${\displaystyle s_{\theta }=-1,s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle s_{\theta }=+1,s_{\zeta }=-1}$

Cinemática

Para estudiar el movimiento de una sola partícula en dispositivos de plasma confinados toroidalmente, se deben conocer los vectores de velocidad y aceleración. Considerando la elección natural , los vectores unitarios del sistema de coordenadas toroidales y poloidales se pueden expresar como: ${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$ ${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$

según coordenadas cartesianas. El vector de posición se expresa como:

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{\theta }}$

El vector velocidad viene entonces dado por:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

y el vector de aceleración es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} ={}&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{aligned}}}$

Ver también

• Coordenadas toroidales
• Toro
• Zonal y poloidal
• Descomposición poloidal-toroidal
• Flujo zonal (plasma)

Referencias

• "Diccionario de inglés Oxford en línea". poloidal . Prensa de la Universidad de Oxford . Consultado el 10 de agosto de 2007 .
• Elsasser, WM (1946). "Efectos de la inducción en el magnetismo terrestre, Parte I. Teoría". Física. Rdo . 69 (3–4): 106–116. doi : 10.1103/PhysRev.69.106 . Consultado el 10 de agosto de 2007 .