Teorema de Lee-Yang

En mecánica estadística , el teorema de Lee-Yang establece que si las funciones de partición de ciertos modelos en la teoría estadística de campos con interacciones ferromagnéticas se consideran funciones de un campo externo, entonces todos los ceros son puramente imaginarios (o en el círculo unitario después de un cambio de variable). La primera versión fue probada para el modelo de Ising por TD Lee y CN Yang (1952) (Lee & Yang 1952). Su resultado fue extendido posteriormente a modelos más generales por varias personas. Asano en 1970 extendió el teorema de Lee-Yang al modelo de Heisenberg y proporcionó una prueba más simple utilizando contracciones de Asano . Simon & Griffiths (1973) extendieron el teorema de Lee-Yang a ciertas distribuciones de probabilidad continuas aproximándolas por una superposición de modelos de Ising. Newman (1974) dio un teorema general que establece aproximadamente que el teorema de Lee-Yang es válido para una interacción ferromagnética siempre que sea válido para la interacción cero. Lieb y Sokal (1981) generalizaron el resultado de Newman a partir de medidas en R a medidas en el espacio euclidiano de dimensiones superiores.

Se ha especulado sobre una relación entre el teorema de Lee-Yang y la hipótesis de Riemann sobre la función zeta de Riemann ; véase (Knauf 1999).

Declaración

Preliminares

A lo largo de la formalización en Newman (1974) el hamiltoniano viene dado por

H=-\suma J_{jk}S_{j}S_{k}-\suma z_{j}S_{j}

donde S _j son variables de espín y z _{j es} el campo externo. Se dice que el sistema es ferromagnético si todos los coeficientes en el término de interacción J _jk son reales no negativos.

La función de partición está dada por

Z=\int e^{-H}d\mu _{1}(S_{1})\cdots d\mu _{N}(S_{N})

donde cada dμ _j es una medida par en los reales R que decrece en el infinito tan rápido que todas las funciones gaussianas son integrables, es decir

\int e^{bS^{2}}d|\mu _{j}(S)|<\infty ,\,\forall b\in \mathbb {R} .

Se dice que una medida decreciente rápidamente en los números reales tiene la propiedad de Lee-Yang si todos los ceros de su transformada de Fourier son reales como se muestra a continuación.

\int e^{hS}d\mu _{j}(S)\neq 0,\,\para todo h\en \mathbb {H} _{+}:=\{z\en \mathbb {C} \mid \Re (z)>0\}

Teorema

El teorema de Lee-Yang establece que si el hamiltoniano es ferromagnético y todas las medidas dμ _j tienen la propiedad de Lee-Yang, y todos los números z _j tienen parte real positiva, entonces la función de partición es distinta de cero.

Z(\{z_{j}\})\neq 0,\,\forall z_{j}\in \mathbb {H} _{+}

En particular, si todos los números z _j son iguales a algún número z , entonces todos los ceros de la función de partición (considerada como una función de z ) son imaginarios.

En el caso del modelo original de Ising considerado por Lee y Yang, todas las medidas tienen soporte en el conjunto de 2 puntos −1, 1, por lo que la función de partición puede considerarse una función de la variable ρ = e ^{π z} . Con este cambio de variable, el teorema de Lee-Yang dice que todos los ceros ρ se encuentran en el círculo unitario.

Ejemplos

Algunos ejemplos de medida con la propiedad Lee-Yang son:

La medida del modelo de Ising, que tiene un soporte que consiste en dos puntos (normalmente 1 y −1) cada uno con peso 1/2. Este es el caso original considerado por Lee y Yang.
Distribución de espín n /2, cuyo soporte tiene n +1 puntos igualmente espaciados, cada uno de peso 1/( n +1). Se trata de una generalización del caso del modelo de Ising.
La densidad de medida distribuida uniformemente entre −1 y 1.
La densidad $\exp(-\lambda \cosh(S))\,dS$
La densidad para λ positivo y b real . Esto corresponde a la teoría cuántica de campos euclidiana ( φ ⁴ ) ₂ . $\exp(-\lambda S^{4}-bS^{2})\,dS$
La densidad para λ positivo no siempre tiene la propiedad de Lee-Yang. $\exp(-\lambda S^{6}-aS^{4}-bS^{2})\,dS$
Si dμ tiene la propiedad de Lee-Yang, también la tiene exp( bS ² ) dμ para cualquier b positivo .
Si dμ tiene la propiedad de Lee-Yang, también la tiene Q ( S ) dμ para cualquier polinomio par Q cuyos ceros sean todos imaginarios.
La convolución de dos medidas con la propiedad Lee-Yang también tiene la propiedad Lee-Yang.

Véase también

Teoría de Lee-Yang

Referencias

Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Teoría estadística de campos. Vol. 1 , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34058-8, Sr. 1175176
Knauf, Andreas (1999), "Teoría de números, sistemas dinámicos y mecánica estadística", Reviews in Mathematical Physics , 11 (8): 1027–1060, Bibcode :1999RvMaP..11.1027K, CiteSeerX 10.1.1.184.8685 , doi :10.1142/S0129055X99000325, ISSN 0129-055X, MR 1714352
Lee, TD; Yang, CN (1952), "Teoría estadística de ecuaciones de transiciones de estado y fase. II. Gas reticular y modelo de Ising", Physical Review , 87 (3): 410–419, Bibcode :1952PhRv...87..410L, doi :10.1103/PhysRev.87.410, ISSN 0031-9007
Lieb, Elliott H.; Sokal, Alan D. (1981), "Un teorema general de Lee-Yang para ferroimanes de un componente y de varios componentes", Communications in Mathematical Physics , 80 (2): 153–179, Bibcode :1981CMaPh..80..153L, doi :10.1007/BF01213009, ISSN 0010-3616, MR 0623156, S2CID 59332042
Newman, Charles M. (1974), "Ceros de la función de partición para sistemas de Ising generalizados", Communications on Pure and Applied Mathematics , 27 (2): 143–159, doi :10.1002/cpa.3160270203, ISSN 0010-3640, MR 0484184
Simon, Barry ; Griffiths, Robert B. (1973), "La teoría del campo (φ4)2 como un modelo clásico de Ising", Communications in Mathematical Physics , 33 (2): 145–164, Bibcode :1973CMaPh..33..145S, CiteSeerX 10.1.1.210.9639 , doi :10.1007/BF01645626, ISSN 0010-3616, MR 0428998, S2CID 123201243
Yang, CN; Lee, TD (1952), "Teoría estadística de ecuaciones de transiciones de estado y fase. I. Teoría de la condensación", Physical Review , 87 (3): 404–409, Bibcode :1952PhRv...87..404Y, doi :10.1103/PhysRev.87.404, ISSN 0031-9007