Número de base invariante

En el campo matemático de la teoría de anillos , un anillo R tiene la propiedad de número base invariante ( IBN ) si todos los módulos libres finitamente generados sobre R tienen un rango bien definido. En el caso de los cuerpos , la propiedad IBN es el hecho de que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una dimensión única .

Definición

Un anillo R tiene número base invariante (IBN) si para todos los enteros positivos m y n , R ^m isomorfo a R ⁿ (como R -módulos izquierdos) implica que m = n .

De manera equivalente, esto significa que no existen números enteros positivos distintos m y n tales que R ^m sea isomorfo a R ⁿ .

Reformulando la definición de número base invariante en términos de matrices, se dice que, siempre que A sea una matriz m por n sobre R y B sea una matriz n por m sobre R tal que AB = I y BA = I , entonces m = n . Esta forma revela que la definición es simétrica de izquierda a derecha, por lo que no hay diferencia si definimos IBN en términos de módulos izquierdos o derechos; las dos definiciones son equivalentes. ^[1]

Nótese que los isomorfismos en las definiciones no son isomorfismos de anillo, son isomorfismos de módulo, incluso cuando uno de n o m es 1.

Propiedades

El objetivo principal de la condición de número base invariante es que los módulos libres sobre un anillo IBN satisfagan un análogo del teorema de dimensión para espacios vectoriales : dos bases cualesquiera para un módulo libre sobre un anillo IBN tienen la misma cardinalidad. Suponiendo el lema del ultrafiltro (una forma estrictamente más débil del axioma de elección ), este resultado es en realidad equivalente a la definición dada aquí, y puede tomarse como una definición alternativa.

El rango de un módulo libre R ⁿ sobre un anillo IBN R se define como la cardinalidad del exponente m de cualquier (y por lo tanto de cada) módulo R m isomorfo a R ⁿ . Por lo tanto, la propiedad IBN afirma que cada clase de isomorfismo de módulos R libres ^tiene un rango único. El rango no está definido para anillos que no satisfacen IBN. Para espacios vectoriales, el rango también se denomina dimensión . Por lo tanto, el resultado anterior es en resumen: el rango está definido de forma única para todos los módulos R libres si y solo si está definido de forma única para módulos R libres generados finitamente .

Ejemplos

Cualquier cuerpo satisface IBN, y esto equivale al hecho de que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una dimensión bien definida. Además, cualquier anillo conmutativo (excepto el anillo cero ) satisface IBN, ^[2] al igual que cualquier anillo noetheriano por la izquierda y cualquier anillo semilocal .

Prueba

Sea A un anillo conmutativo y supongamos que existe un isomorfismo de módulo A. Sea la base canónica de A ⁿ , lo que significa que son todos ceros excepto un uno en la posición i -ésima. Por el teorema de Krull , sea I un ideal propio maximalista de A y . Un morfismo de módulo A significa ${\displaystyle f\colon A^{n}\to A^{p}}$ ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle e_{i}\in A^{n}}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}}$

${\displaystyle f(i_{1},\dots ,i_{n})=\sum _{k=1}^{n}i_{k}f(e_{k})\in I^{p}}$

porque I es un ideal. Por lo tanto, f induce un morfismo de módulo A / I , que puede demostrarse fácilmente como un isomorfismo. Como A / I es un cuerpo, f' es un isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensión finita, por lo que n = p . ${\displaystyle f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}}$

Un ejemplo de un anillo distinto de cero que no satisface IBN es el anillo de matrices finitas de columna , las matrices con coeficientes en un anillo R , con entradas indexadas por y con cada columna teniendo sólo un número finito de entradas distintas de cero. Ese último requisito nos permite definir el producto de matrices infinitas MN , dando la estructura del anillo. Un isomorfismo de módulo izquierdo viene dado por: ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\psi :\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)&\to &\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}\\M&\mapsto &({\text{odd columns of }}M,{\text{ even columns of }}M)\end{array}}}$

Este anillo matricial infinito resulta ser isomorfo a los endomorfismos de un módulo libre derecho sobre R de rango contable . ^[3]

A partir de este isomorfismo, es posible demostrar (abreviando ) que S ≅ S ⁿ para cualquier entero positivo n , y por lo tanto S ⁿ ≅ S ^m para cualesquiera dos enteros positivos m y n . Hay otros ejemplos de anillos no IBN sin esta propiedad, entre ellos las álgebras de Leavitt. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S}$

Otros resultados

IBN es una condición necesaria (pero no suficiente) para que un anillo sin divisores de cero sea integrable en un anillo de división (compárese el cuerpo de fracciones en el caso conmutativo). Véase también la condición de Ore .

Todo anillo de división no trivial o anillo finito estable tiene un número base invariante.

Todo anillo que satisfaga la condición de rango (es decir, que tenga un número generador ilimitado) debe tener un número base invariante. ^[5]

Referencias

1. (Lam 1999, pág. 3)
2. "Proyecto Stacks, etiqueta 0FJ7". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 4 de marzo de 2023 .
3. (Hungerford 1980, pág. 190)
4. (Abrams y Ánh 2002)
5. (Lam 1999, Proposición 1.22)

Fuentes

• Abrams, Gene; Ánh, PN (2002), "Algunas álgebras ultramatriciales que surgen como intersecciones de álgebras de Leavitt", J. Algebra Appl. , 1 (4): 357–363, doi :10.1142/S0219498802000227, ISSN  0219-4988, MR  1950131

• Hungerford, Thomas W. (1980) [1974], Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 73, Nueva York: Springer-Verlag, págs. xxiii+502, ISBN 0-387-90518-9, Sr.  0600654Reimpresión del original de 1974

• Lam, Tsit Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 189, Nueva York: Springer-Verlag, pp. xxiv+557, ISBN 0-387-98428-3, Sr.  1653294