Lente delgada

Lente con un espesor despreciable

Una lente puede considerarse una lente delgada si su espesor es mucho menor que los radios de curvatura de sus superficies ( d ≪ | R ₁ | y d ≪ | R ₂ | ).

En óptica , una lente delgada es una lente con un espesor (distancia a lo largo del eje óptico entre las dos superficies de la lente) que es despreciable en comparación con los radios de curvatura de las superficies de la lente. Las lentes cuyo espesor no es despreciable a veces se denominan lentes gruesas .

La aproximación de lentes delgadas ignora los efectos ópticos debidos al espesor de las lentes y simplifica los cálculos de trazado de rayos . A menudo se combina con la aproximación paraxial en técnicas como el análisis de matriz de transferencia de rayos .

Longitud focal

La distancia focal, f , de una lente en el aire viene dada por la ecuación del fabricante de lentes :

${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {(n-1)d}{nR_{1}R_{2}}}\right],}$

donde n es el índice de refracción del material de la lente, y R ₁ y R ₂ son los radios de curvatura de las dos superficies. Aquí R ₁ se toma como positivo si la primera superficie es convexa, y negativo si la superficie es cóncava. Los signos se invierten para la superficie posterior de la lente: R ₂ es positivo si la superficie es cóncava, y negativo si es convexa. Esta es una convención de signos arbitraria ; algunos autores eligen signos diferentes para los radios, lo que cambia la ecuación para la distancia focal.

Para una lente delgada, d es mucho menor que uno de los radios de curvatura ( R ₁ o R ₂ ). En estas condiciones, el último término de la ecuación de Lensmaker se vuelve insignificante y la distancia focal de una lente delgada en el aire se puede aproximar mediante ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{f}}\approx \left(n-1\right)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right].}$

Derivación utilizando la ley de Snell

Refracción de una lente planoconvexa delgada

Considérese una lente delgada con una primera superficie de radio y una superficie posterior plana, hecha de material con índice de refracción . ${\textstyle R}$ ${\textstyle n}$

Aplicando la ley de Snell , la luz que entra en la primera superficie se refracta según , donde es el ángulo de incidencia en la interfaz y es el ángulo de refracción. ${\displaystyle \sin i=n\sin r_{1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{1}}$

Para la segunda superficie, , donde es el ángulo de incidencia y es el ángulo de refracción. ${\displaystyle n\sin r_{2}=\sin e}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle e}$

Para ángulos pequeños, . La geometría del problema entonces da: ${\textstyle \sin x\approx x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e&\approx nr_{2}\\&=n(i-r_{1})\\&\approx n(i-{\frac {i}{n}})\end{aligned}}}$$

Enfoque mediante una lente planoconvexa delgada

Si el rayo entrante es paralelo al eje óptico y está alejado de él, entonces ${\textstyle h}$ $${\displaystyle \sin i={\frac {h}{R}}\implies i\approx {\frac {h}{R}}.}$$

Sustituyendo en la expresión anterior, se obtiene $${\displaystyle e\approx {\frac {h}{R}}(n-1).}$$

Este rayo cruza el eje óptico a una distancia , dada por ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \tan e={\frac {h}{f}}\implies e\approx {\frac {h}{f}}}$$

Combinando las dos expresiones obtenemos . ${\textstyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{R}}(n-1)}$

Se puede demostrar que si se colocan dos lentes de radios y cerca una de la otra, se pueden sumar las inversas de las distancias focales, obteniéndose la fórmula de lente delgada: ${\textstyle R_{1}}$ ${\textstyle -R_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}=\left(n-1\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$$

Formación de imágenes

Ciertos rayos siguen reglas simples al pasar a través de una lente delgada, en la aproximación de rayos paraxiales :

• Cualquier rayo que entra paralelo al eje por un lado de la lente avanza hacia el punto focal del otro lado. ${\displaystyle f_{2}}$
• Cualquier rayo que llega a la lente después de pasar por el punto focal del lado frontal, sale paralelo al eje del otro lado. ${\displaystyle f_{1}}$
• Cualquier rayo que pase por el centro de la lente no cambiará su dirección.

Si se trazan tres rayos de este tipo desde el mismo punto en un objeto situado delante de la lente (por ejemplo, la parte superior), su intersección marcará la ubicación del punto correspondiente en la imagen del objeto. Al seguir las trayectorias de estos rayos, se puede demostrar que la relación entre la distancia del objeto s _o y la distancia de la imagen s _i (estas distancias son con respecto a la lente) es

${\displaystyle {1 \over s_{o}}+{1 \over s_{i}}={1 \over f}}$

que se conoce como ecuación de lente delgada gaussiana , cuya convención de signos es la siguiente. ^[2]

Existen otras convenciones de signos, como la convención de signos cartesiana, donde la ecuación de la lente delgada se escribe como Para una lente gruesa, se aplica la misma forma de ecuación de lente con la modificación de que los parámetros en la ecuación son con respecto a los planos principales de la lente. ^[3] $${\displaystyle {1 \over s_{o}}+{1 \over f}={1 \over s_{i}}.}$$

Óptica física

En la óptica de ondas escalares, una lente es una pieza que desplaza la fase del frente de onda. Matemáticamente, esto puede entenderse como una multiplicación del frente de onda por la siguiente función: ^[4]

${\displaystyle \exp \left({\frac {2\pi i}{\lambda }}{\frac {r^{2}}{2f}}\right)}$.

Referencias

1. Hecht, Eugene (1987). Óptica (2.ª ed.). Addison Wesley . § 5.2.3. ISBN 0-201-11609-X.
2. Eugene, Hecht (2017). "Imágenes finitas". Óptica (5.ª ed.). Pearson. pág. 173. ISBN 978-1-292-09693-3.
3. Hecht, Eugene (2017). "Capítulo 6.1 Lentes gruesas y sistemas de lentes". Óptica (5.ª ed.). Pearson. pág. 257. ISBN 978-1-292-09693-3.
4. Saleh, BEA (2007). Fundamentos de fotónica (2.ª ed.). Wiley .