Singularidad canónica

Singularidades de variedades proyectivas

En matemáticas, las singularidades canónicas aparecen como singularidades del modelo canónico de una variedad proyectiva , y las singularidades terminales son casos especiales que aparecen como singularidades de modelos mínimos . Fueron introducidas por Reid (1980). Las singularidades terminales son importantes en el programa de modelos mínimos porque no siempre existen modelos mínimos suaves y, por lo tanto, se deben permitir ciertas singularidades, a saber, las singularidades terminales.

Definición

Supóngase que Y es una variedad normal tal que su clase canónica K _Y es Q -Cartier, y sea f : X → Y una resolución de las singularidades de Y . Entonces

${\displaystyle \displaystyle K_{X}=f^{*}(K_{Y})+\sum _{i}a_{i}E_{i}}$

donde la suma está sobre los divisores excepcionales irreducibles, y los a _i son números racionales, llamados discrepancias.

Entonces las singularidades de Y se llaman:

terminal si a _i > 0 para todo i

canónico si a _i ≥ 0 para todo i

terminal logarítmica si a _i > −1 para todo i

logaritmo canónico si a _i ≥ −1 para todo i .

Propiedades

Las singularidades de una variedad proyectiva V son canónicas si la variedad es normal , alguna potencia del fibrado lineal canónico de la parte no singular de V se extiende a un fibrado lineal en V , y V tiene los mismos plurigenerados que cualquier resolución de sus singularidades. V tiene singularidades canónicas si y solo si es un modelo canónico relativo .

Las singularidades de una variedad proyectiva V son terminales si la variedad es normal , alguna potencia del fibrado lineal canónico de la parte no singular de V se extiende a un fibrado lineal en V , y V el retroceso de cualquier sección de V ^m se desvanece a lo largo de cualquier componente de codimensión 1 del lugar excepcional de una resolución de sus singularidades.

Clasificación en pequeñas dimensiones

Las singularidades terminales bidimensionales son suaves. Si una variedad tiene singularidades terminales, entonces sus puntos singulares tienen codimensión al menos 3, y en particular en las dimensiones 1 y 2 todas las singularidades terminales son suaves. En 3 dimensiones están aisladas y fueron clasificadas por Mori (1985).

Las singularidades canónicas bidimensionales son las mismas que las singularidades de du Val , y son analíticamente isomorfas a los cocientes de C ² por subgrupos finitos de SL ₂ ( C ).

Las singularidades terminales logarítmicas bidimensionales son analíticamente isomorfas a los cocientes de C ² por subgrupos finitos de GL ₂ ( C ).

Kawamata (1988) ha clasificado las singularidades logarítmicas canónicas bidimensionales.

Pares

De manera más general, se pueden definir estos conceptos para un par donde es una combinación lineal formal de divisores primos con coeficientes racionales tales que es -Cartier. El par se llama ${\displaystyle (X,\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle K_{X}+\Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• terminal si Discrep ${\displaystyle (X,\Delta )>0}$
• canónico si Discrep ${\displaystyle (X,\Delta )\geq 0}$
• klt (terminal de registro de Kawamata) si Discrep y ${\displaystyle (X,\Delta )>-1}$ ${\displaystyle \lfloor \Delta \rfloor \leq 0}$
• plt (terminal puramente logarítmica) si Discrep ${\displaystyle (X,\Delta )>-1}$
• lc (log canónico) si Discrep . ${\displaystyle (X,\Delta )\geq -1}$

Referencias

• Kollár, János (1989), "Modelos mínimos de triples algebraicos: programa de Mori", Astérisque (177): 303–326, ISSN  0303-1179, SEÑOR  1040578
• Kawamata, Yujiro (1988), "Explosión de crepantes de singularidades canónicas tridimensionales y su aplicación a degeneraciones de superficies", Ann. of Math. , 2, 127 (1): 93–163, doi :10.2307/1971417, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971417, MR  0924674
• Mori, Shigefumi (1985), "Sobre singularidades terminales tridimensionales", Nagoya Mathematical Journal , 98 : 43–66, doi : 10.1017/s0027763000021358 , ISSN  0027-7630, MR  0792770
• Reid, Miles (1980), "Canonical 3-folds", Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979 , Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, págs. 273–310, MR  0605348
• Reid, Miles (1987), "Guía para jóvenes sobre singularidades canónicas", Geometría algebraica, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985) , Proc. Sympos. Pure Math., vol. 46, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 345–414, MR  0927963