Proyectivización

En matemáticas , la proyectivización es un procedimiento que asocia a un espacio vectorial $V$ distinto de cero un espacio proyectivo $P$ $($ $V$ $) , cuyos elementos son$ subespacios unidimensionales de $V$ . De manera más general, cualquier subconjunto $S$ de $V$ cerrado bajo multiplicación escalar define un subconjunto de $P$ $($ $V$ $)$ formado por las rectas contenidas en $S$ y se denomina proyectivización de $S$ . ^[1]^[2]

Propiedades

La proyectividad es un caso especial de la factorización por una acción de grupo : el espacio proyectivo $P$ $($ $V$ $)$ es el cociente del conjunto abierto $V$ $\ {0}$ de vectores no nulos por la acción del grupo multiplicativo del cuerpo base por transformaciones escalares. La dimensión de $P$ $($ $V$ $)$ en el sentido de la geometría algebraica es uno menos que la dimensión del espacio vectorial $V$ .
La proyectivización es funcional con respecto a los mapas lineales inyectivos : si

f:V\to W

es una función lineal con núcleo trivial , entonces

f

define una función algebraica de los espacios proyectivos correspondientes,

\mathbf {P} (f):\mathbf {P} (V)\to \mathbf {P} (W).

En particular, el grupo lineal general GL( V ) actúa sobre el espacio proyectivo

P

(

V

)

mediante automorfismos .

Completitud proyectiva

Un procedimiento relacionado incorpora un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$ en el espacio proyectivo $P$ $($ $V$ $\oplus$ $K$ $)$ de la misma dimensión. A cada vector $v$ de $V$ , le asocia la línea generada por el vector $($ $v$ $, 1)$ de $V$ $\oplus$ $K$ .

Generalización

En geometría algebraica , existe un procedimiento que asocia una variedad proyectiva $Proj S$ con un álgebra conmutativa graduada $S$ (bajo algunas restricciones técnicas sobre $S$ ). Si $S$ es el álgebra de polinomios en un espacio vectorial $V$ entonces $Proj S$ es $P (V)$ . Esta construcción Proj da lugar a un funtor contravariante de la categoría de anillos conmutativos graduados y a aplicaciones graduadas sobreyectivas de la categoría de esquemas proyectivos .

Referencias

^ "Proyectivización de un espacio vectorial: definición de geometría proyectiva vs. definición de geometría algebraica". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 22 de agosto de 2024 .
^ Weisstein, Eric W. "Projectivization". mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de agosto de 2024 .