Equivalencia de ingresos

La equivalencia de ingresos es un concepto de la teoría de las subastas que establece que, dadas ciertas condiciones, cualquier mecanismo que produzca los mismos resultados (es decir, asigne artículos a los mismos postores) también tiene los mismos ingresos esperados.

Notación

Hay un conjunto de resultados posibles. ${\displaystyle X}$

Hay agentes que tienen valoraciones diferentes para cada resultado. La valoración del agente (también llamado su "tipo") se representa como una función: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle v_{i}:X\longrightarrow R_{\geq 0}}$

que expresa el valor que tiene para cada alternativa, en términos monetarios.

Los agentes tienen funciones de utilidad cuasilineales ; esto significa que, si el resultado es y además el agente recibe un pago (positivo o negativo), entonces la utilidad total del agente es: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}:=v_{i}(x)+p_{i}}$

El vector de todas las funciones de valor se denota por . ${\displaystyle v}$

Para cada agente , el vector de todas las funciones de valor de los otros agentes se denota por . Entonces . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{-i}}$ ${\displaystyle v\equiv (v_{i},v_{-i})}$

Un mecanismo es un par de funciones:

• Una función que toma como entrada el vector de valor y devuelve un resultado (también se llama función de elección social ); ${\displaystyle Outcome}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x\in X}$
• Una función que toma como entrada el vector de valor y devuelve un vector de pagos, que determina cuánto debe recibir cada jugador (un pago negativo significa que el jugador debe pagar una cantidad positiva). ${\displaystyle Payment}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n})}$

Los tipos de agentes son variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente . Así, un mecanismo induce un juego bayesiano en el que la estrategia de un jugador es su tipo reportado en función de su tipo verdadero. Se dice que un mecanismo es compatible con incentivos bayesianos-Nash si existe un equilibrio bayesiano de Nash en el que todos los jugadores informan su verdadero tipo.

Declaración

Bajo estos supuestos, el teorema de equivalencia de ingresos dice lo siguiente. ^{[1] : 236–237}

Para dos mecanismos compatibles con incentivos bayesianos-Nash cualesquiera, si:

• La función es la misma en ambos mecanismos, y: ${\displaystyle Outcome}$
• Para algún tipo , el pago esperado del jugador (promediado según los tipos de los otros jugadores) es el mismo en ambos mecanismos; ${\displaystyle v_{i}^{0}}$ ${\displaystyle i}$
• La valoración de cada jugador se extrae de un conjunto conectado por caminos ,

entonces:

• Los pagos esperados de todos los tipos son los mismos en ambos mecanismos y por tanto:
• Los ingresos esperados (- suma de pagos) son los mismos en ambos mecanismos.

Ejemplo

Un ejemplo clásico es el par de mecanismos de subasta: subasta de primer precio y subasta de segundo precio . La subasta de primer precio tiene una variante que es compatible con el incentivo bayesiano-Nash; la subasta de segundo precio es compatible con los incentivos de la estrategia dominante, lo que es incluso más fuerte que la compatible con los incentivos bayesianos-Nash. Los dos mecanismos cumplen las condiciones del teorema porque:

• La función es la misma en ambos mecanismos: el mejor postor gana el artículo; y: ${\displaystyle Outcome}$
• Un jugador que valora el artículo como 0 siempre paga 0 en ambos mecanismos.

De hecho, el pago esperado para cada jugador es el mismo en ambas subastas y los ingresos del subastador son los mismos; consulte la página sobre subasta de oferta cerrada de primer precio para obtener más detalles.

Equivalencia de los mecanismos de subasta en subastas de un solo artículo

De hecho, podemos utilizar la equivalencia de ingresos para demostrar que muchos tipos de subastas son equivalentes en ingresos. Por ejemplo, la subasta de primer precio, la subasta de segundo precio y la subasta de pago total son todas equivalentes en ingresos cuando los postores son simétricos (es decir, sus valoraciones son independientes y están distribuidas de manera idéntica).

Subasta de segundo precio

Considere la subasta de un solo artículo de segundo precio , en la que el jugador con la oferta más alta paga la segunda oferta más alta. Lo óptimo es que cada jugador ofrezca su propio valor . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b_{i}=v_{i}}$

Supongamos que gana la subasta y paga la segunda oferta más alta, o . Los ingresos de esta subasta son simples . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}}$ ${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}}$

Subasta de primer precio

En la subasta de primer precio , donde el jugador con la oferta más alta simplemente paga su oferta, si todos los jugadores ofertan utilizando una función de oferta, esto es un equilibrio de Nash. ${\displaystyle b(v)=E(\max _{j\neq i}v_{j}~|~v_{j}\leq v~\forall ~j),}$

En otras palabras, si cada jugador ofrece el valor esperado de la segunda oferta más alta, suponiendo que la suya sea la más alta, entonces ningún jugador tiene ningún incentivo para desviarse. Si esto fuera cierto, entonces es fácil ver que los ingresos esperados de esta subasta también lo serán si gana la subasta. ${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}}$ ${\displaystyle i}$

Prueba

Para demostrar esto, supongamos que un jugador 1 puja donde , efectivamente faroleando que su valor es en lugar de . Queremos encontrar un valor de tal que se maximice el pago esperado del jugador. ${\displaystyle b(z)}$ ${\displaystyle z<v}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z}$

La probabilidad de ganar es entonces . El costo esperado de esta oferta es . Entonces el pago esperado de un jugador es ${\displaystyle Pr(\max _{i>1}v_{i}<z)}$ ${\displaystyle E(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i)}$

${\displaystyle Pr(\max _{i>1}v_{i}<z)(v-E(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i))}$

Sea , una variable aleatoria. Entonces podemos reescribir lo anterior como ${\displaystyle X=\max _{i>1}v_{i}}$

${\displaystyle Pr(X<z)(v-E(X~|X\leq z))}$.

Usando el hecho general de que , podemos reescribir lo anterior como ${\displaystyle E(X~|~X\leq z)\cdot Pr(X<z)=\int _{0}^{z}Pr(X<z)-Pr(X<y)dy}$

${\displaystyle Pr(X<z)\cdot v-Pr(X<z)\cdot z+\int _{0}^{z}Pr(X<y)dy}$.

Tomando derivadas con respecto a , obtenemos ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Pr(X<z)'(v-z)=0\Rightarrow v=z}$.

Por lo tanto, ofertar con su valor maximiza la recompensa esperada del jugador. Como es monótono creciente, verificamos que efectivamente se trata de un punto máximo. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Pr(X<z)}$

subasta inglesa

En la subasta abierta de precio ascendente (también conocida como subasta inglesa ), la estrategia dominante del comprador es permanecer en la subasta hasta que el precio solicitado sea igual a su valor. Luego, si es el último que queda en la arena, gana y paga la segunda oferta más alta.

Considere el caso de dos compradores, cada uno con un valor que es un sorteo independiente de una distribución con soporte [0,1], función de distribución acumulativa F(v) y función de densidad de probabilidad f(v). Si los compradores se comportan de acuerdo con sus estrategias dominantes, entonces un comprador con valor v gana si el valor x de su oponente es menor. Por tanto, su probabilidad de ganar es

${\displaystyle w=\Pr\{x<v\}\equiv F(v)}$

y su pago esperado es

${\displaystyle C(v)=\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx}$

El pago esperado condicionado a ganar es por lo tanto

${\displaystyle e(v)={\frac {C(v)}{F(v)}}={\frac {\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx}{F(v)}}}$

Multiplicar ambos lados por F(v) y diferenciar por v produce la siguiente ecuación diferencial para e(v).

${\displaystyle {e}'(v)F(v)+e(v)f(v)=vf(v)}$.

Reordenando esta ecuación,

${\displaystyle {e}'(v)={\frac {f(v)}{F(v)}}(v-e(v))}$

Sea B(v) la función de oferta de equilibrio en la subasta sellada de primer precio. Establecemos la equivalencia de ingresos mostrando que B(v)=e(v), es decir, el pago de equilibrio del ganador en una subasta es igual al pago de equilibrio esperado por el ganador en la otra.

Supongamos que un comprador tiene un valor v y ofrece b. Su oponente oferta según la estrategia de oferta de equilibrio. El soporte de la distribución de ofertas del oponente es [0,B(1)]. Por lo tanto, cualquier oferta de al menos B(1) gana con probabilidad 1. Por lo tanto, la mejor oferta b se encuentra en el intervalo [0,B(1)] y, por lo tanto, podemos escribir esta oferta como b = B(x) donde se encuentra x. en [0,1]. Si el oponente tiene valor y, oferta B(y). Por lo tanto, la probabilidad de ganar es

${\displaystyle w=\Pr\{b<B(y)\}=\Pr\{B(x)<B(y)\}=\Pr\{x<y\}=F(v)}$.

El pago esperado del comprador es su probabilidad de ganar multiplicada por su ganancia neta si gana, es decir,

${\displaystyle U=w(v-B(x))=F(x)(v-B(x))}$.

Diferenciando, la condición necesaria para un máximo es

${\displaystyle {U}'(x)=f(x)(v-B(x))-F(x){B}'(x)=F(x)\left({\frac {f(x)}{F(x)}}(v-B(x))-{B}'(x)\right)=0}$.

Es decir, si B(x) es la mejor respuesta del comprador, debe satisfacer esta condición de primer orden. Finalmente observamos que para que B(v) sea la función de oferta de equilibrio, la mejor respuesta del comprador debe ser B(v). Por lo tanto x=v. Sustituyendo x en la condición necesaria,

${\displaystyle {\frac {f(v)}{F(v)}}(v-B(v))-{B}'(v)=0}$.

Tenga en cuenta que esta ecuación diferencial es idéntica a la de e(v). Dado que e(0)=B(0)=0 se deduce que . ${\displaystyle B(v)=e(v)}$

Uso de la equivalencia de ingresos para predecir funciones de oferta

Podemos utilizar la equivalencia de ingresos para predecir la función de oferta de un jugador en un juego. Considere la versión para dos jugadores de la subasta de segundo precio y la subasta de primer precio, donde el valor de cada jugador se extrae uniformemente de . ${\displaystyle [0,1]}$

Subasta de segundo precio

El pago esperado del primer jugador en la subasta del segundo precio se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})}$

Dado que los jugadores pujan con sinceridad en una subasta de segundo precio, podemos reemplazar todos los precios con los valores de los jugadores. Si el jugador 1 gana, paga lo que oferta el jugador 2, o . El propio jugador 1 puja . Dado que el pago es cero cuando el jugador 1 pierde, lo anterior es ${\displaystyle p_{2}=v_{2}}$ ${\displaystyle p_{1}=v_{1}}$

${\displaystyle E(v_{2}~|~v_{2}<v_{1})P(v_{2}<v_{1})+0}$

Dado que provienen de una distribución uniforme, podemos simplificar esto a ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$

${\displaystyle {\frac {v_{1}}{2}}\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

Subasta de primer precio

Podemos utilizar la equivalencia de ingresos para generar la función de oferta simétrica correcta en la subasta de primer precio. Supongamos que en la subasta de primer precio, cada jugador tiene la función de oferta , donde esta función se desconoce en este momento. ${\displaystyle b(v)}$

El pago esperado del jugador 1 en este juego es entonces

${\displaystyle E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})}$(como anteriormente)

Ahora, un jugador simplemente paga lo que ofrece, y supongamos que los jugadores con valores más altos aún ganan, de modo que la probabilidad de ganar es simplemente el valor del jugador, como en la subasta del segundo precio. Más adelante demostraremos que esta suposición era correcta. Nuevamente, un jugador no paga nada si pierde la subasta. Luego obtenemos

${\displaystyle b(v_{1})\cdot v_{1}+0}$

Por el principio de Equivalencia de Ingresos, podemos equiparar esta expresión a los ingresos de la subasta de segundo precio que calculamos anteriormente:

${\displaystyle b(v_{1})\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

De esto podemos inferir la función de oferta:

${\displaystyle b(v_{1})={\frac {v_{1}}{2}}}$

Tenga en cuenta que con esta función de oferta, el jugador con el valor más alto sigue ganando. Podemos demostrar que esta es la función de oferta de equilibrio correcta de una manera adicional, pensando en cómo un jugador debería maximizar su oferta dado que todos los demás jugadores están ofertando utilizando esta función de oferta. Consulte la página sobre subasta de oferta cerrada de primer precio .

Subastas de pago total

De manera similar, sabemos que el pago esperado del jugador 1 en la subasta de segundo precio es , y este debe ser igual al pago esperado en la subasta de pago total , es decir ${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}=b(v_{1})}$

Por lo tanto, la función de oferta para cada jugador en la subasta de pago total es ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$

Trascendencia

Una implicación importante del teorema es que cualquier subasta de un solo artículo que lo entregue incondicionalmente al mejor postor tendrá los mismos ingresos esperados. Esto significa que, si queremos aumentar los ingresos del subastador, se debe cambiar la función de resultado. Una forma de hacerlo es establecer un precio de reserva para el artículo. Esto cambia la función de Resultado ya que ahora el artículo no siempre se entrega al mejor postor. Al seleccionar cuidadosamente el precio de reserva, un subastador puede obtener unos ingresos esperados sustancialmente mayores. ^{[1] : 237}

Limitaciones

El teorema de equivalencia de ingresos se rompe en algunos casos importantes: ^{[1] : 238–239}

• Cuando los jugadores son reacios al riesgo en lugar de neutrales como se asumió anteriormente. En este caso, se sabe que las subastas de primer precio generan más ingresos que las de segundo precio.
• Cuando las valoraciones de los jugadores son interdependientes, por ejemplo, si las valoraciones dependen de algún estado del mundo que los postores sólo conocen parcialmente (esto está relacionado con la maldición del ganador ). En este escenario, la subasta inglesa genera más ingresos que la subasta de segundo precio, ya que permite a los postores conocer información de las ofertas de otros jugadores.

Referencias

1. Vazirani, Vijay V .; Nisán, Noam ; Jardín áspero, Tim ; Tardos, Éva (2007). Teoría algorítmica de juegos (PDF) . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-87282-0.

• Hartline, Jason, Aproximación al diseño económico (PDF).