El teorema del punto fijo de Schauder es una extensión del teorema del punto fijo de Brouwer a espacios vectoriales topológicos , que pueden ser de dimensión infinita. Afirma que si es un subconjunto cerrado convexo no vacío de un espacio vectorial topológico de Hausdorff y es un mapeo continuo de en sí mismo tal que está contenido en un subconjunto compacto de , entonces tiene un punto fijo .
Una consecuencia, llamada teorema del punto fijo de Schaefer , es particularmente útil para demostrar la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales . El teorema de Schaefer es, de hecho, un caso especial del trascendental teorema de Leray-Schauder que fue demostrado anteriormente por Juliusz Schauder y Jean Leray . El comunicado es el siguiente:
Sea un mapeo continuo y compacto de un espacio de Banach en sí mismo, tal que el conjunto
está ligado. Luego tiene un punto fijo. (Un mapeo compacto en este contexto es aquel para el cual la imagen de cada conjunto acotado es relativamente compacta ).
El teorema fue conjeturado y demostrado para casos especiales, como los espacios de Banach, por Juliusz Schauder en 1930. Su conjetura para el caso general fue publicada en el libro escocés . En 1934, Tychonoff demostró el teorema para el caso en que K es un subconjunto compacto convexo de un espacio localmente convexo . Esta versión se conoce como teorema del punto fijo de Schauder-Tychonoff . BV Singbal demostró el teorema para el caso más general en el que K puede no ser compacto; la prueba se puede encontrar en el apéndice del libro de Bonsall (ver referencias).
