Teorema del número impar

El teorema del número impar es un teorema de lente gravitacional fuerte que proviene directamente de la topología diferencial .

El teorema establece que el número de imágenes múltiples producidas por una lente transparente limitada debe ser impar .

Formulación

El efecto de lente gravitacional es una idea que se traza desde lo que se conoce como plano de imagen al plano fuente siguiendo la fórmula:

$M:(u,v)\mapsto (u',v')$ .

Argumento

Si utilizamos cosenos de dirección que describen los rayos de luz curvados , podemos escribir un campo vectorial en el plano . $(u,v)$ $V:(s,w)$

Sin embargo, solo en algunas direcciones específicas , los rayos de luz desviados llegarán al observador, es decir, las imágenes solo se formarán donde . Entonces podemos aplicar directamente el teorema de Poincaré-Hopf . $V_{0}:(s_{0},w_{0})$ $D=\delta V=0|_{(s_{0},w_{0})}$ $\chi =\sum {\text{index}}_{D}={\text{constant}}$

El índice de fuentes y sumideros es +1, y el de los puntos de silla es -1. Por lo tanto, la característica de Euler es igual a la diferencia entre el número de índices positivos y el número de índices negativos . Para el caso del campo lejano, solo hay una imagen, es decir, . Por lo tanto, el número total de imágenes es , es decir, impar. La prueba estricta necesita la teoría de Morse de Uhlenbeck de geodésicas nulas . $n_{+}$ $n_{-}$ $\chi =n_{+}-n_{-}=1$ $N=n_{+}+n_{-}=2n_{-}+1$

Referencias

Chwolson, O. (1924). "Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne". Astronomische Nachrichten (en alemán). 221 (20). Wiley: 329–330. Código Bib : 1924AN....221..329C. doi :10.1002/asna.19242212003. ISSN 0004-6337.
Burke, WL (1981). "Imágenes gravitacionales múltiples mediante masas distribuidas". The Astrophysical Journal . 244 . IOP Publishing: L1. Bibcode :1981ApJ...244L...1B. doi : 10.1086/183466 . ISSN 0004-637X.
McKenzie, Ross H. (1985). "Una lente gravitacional produce un número impar de imágenes". Journal of Mathematical Physics . 26 (7). AIP Publishing: 1592–1596. Bibcode :1985JMP....26.1592M. doi :10.1063/1.526923. ISSN 0022-2488.
Kozameh, Carlos; Lamberti, Pedro W.; Reula, Oscar (1991). "Aspectos globales de los cortes del cono de luz". Journal of Mathematical Physics . 32 (12). AIP Publishing: 3423–3426. Bibcode :1991JMP....32.3423K. doi :10.1063/1.529456. ISSN 0022-2488.
Lombardi, Marco (20 de enero de 1998). "Una aplicación del grado topológico a las lentes gravitacionales". Modern Physics Letters A . 13 (2). World Scientific Pub Co Pte Lt: 83–86. Bibcode :1998MPLA...13...83L. doi :10.1142/s0217732398000115. ISSN 0217-7323.
Wambsganss, Joachim (1998). "Lentes gravitacionales en astronomía". Living Reviews in Relativity . 1 (1): 12. arXiv : astro-ph/9812021 . Bibcode :1998LRR.....1...12W. doi : 10.12942/lrr-1998-12 . PMC 5567250 . PMID 28937183.
Schneider, P.; Ehlers, J.; Falco, EE (1999). "Lentes gravitacionales" . Biblioteca de Astronomía y Astrofísica. Springer. ISBN 9783540665069.
Giannoni, Fabio; Lombardi, Marco (1999). "Lentes gravitacionales: ¿imágenes pares o impares?". Gravedad clásica y cuántica . 16 (6): 1689–1694. Bibcode :1999CQGra..16.1689G. doi :10.1088/0264-9381/16/6/303. S2CID 250827307.
Frittelli, Simonetta; Newman, Ezra T. (28 de abril de 1999). "Ecuación exacta de lente gravitacional universal". Physical Review D . 59 (12): 124001. arXiv : gr-qc/9810017 . Código Bibliográfico :1999PhRvD..59l4001F. doi :10.1103/physrevd.59.124001. ISSN 0556-2821. S2CID 248125.
Perlick, Volker (1999). "Lentes gravitacionales desde un punto de vista geométrico". Ecuaciones de campo de Einstein y sus implicaciones físicas: ensayos seleccionados en honor a Jürgen Ehlers . Apuntes de clases de física. Vol. 540. págs. 373–425. doi :10.1007/3-540-46580-4_6. ISBN 978-3-540-67073-5.
Perlick, Volker (septiembre de 2004). "Lentes gravitacionales desde una perspectiva espaciotemporal". Living Reviews in Relativity . 7 (1): 9. arXiv : 1010.3416 . Bibcode :2004LRR.....7....9P. doi : 10.12942/lrr-2004-9 . PMC 5255571 . PMID 28179867.