Teorema del gradiente

El teorema del gradiente , también conocido como el teorema fundamental del cálculo para las integrales de línea , dice que una integral de línea a través de un campo de gradiente se puede evaluar evaluando el campo escalar original en los puntos finales de la curva. El teorema es una generalización del segundo teorema fundamental del cálculo a cualquier curva en un plano o espacio (generalmente n -dimensional) en lugar de solo a la línea real.

Si $φ : U \subseteq R n \to R$ es una función diferenciable y $γ$ una curva diferenciable en $U$ que comienza en un punto $p$ y termina en un punto $q$ , entonces

$\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$

donde $\nabla φ$ denota el campo vectorial de gradiente de $φ$ .

El teorema del gradiente implica que las integrales de línea a través de campos de gradiente son independientes de la trayectoria . En física, este teorema es una de las formas de definir una fuerza conservativa . Al colocar $φ$ como potencial, $\nabla φ$ es un campo conservativo . El trabajo realizado por fuerzas conservativas no depende de la trayectoria seguida por el objeto, sino solo de los puntos finales, como lo muestra la ecuación anterior.

El teorema del gradiente también tiene una contraparte interesante: cualquier campo vectorial independiente de la trayectoria puede expresarse como el gradiente de un campo escalar . Al igual que el teorema del gradiente, esta contraparte tiene muchas consecuencias y aplicaciones sorprendentes tanto en matemáticas puras como aplicadas.

Prueba

Si $φ$ es una función diferenciable de algún subconjunto abierto $U \subseteq R n$ a $R$ y $r$ es una función diferenciable de algún intervalo cerrado $[a, b]$ a $U$ (nótese que $r$ es diferenciable en los puntos finales del intervalo $a$ y $b$ . Para ello, $r$ se define en un intervalo que es mayor que e incluye $a [a, b]$ .), entonces por la regla de la cadena multivariante , la función compuesta $φ \circ r$ es diferenciable en $[a, b]$ :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

para todo $t$ en $[a, b]$ . Aquí $\cdot$ denota el producto interno habitual .

Ahora supongamos que el dominio $U$ de $φ$ contiene la curva diferenciable $γ$ con extremos $p$ y $q$ . (Esta está orientada en la dirección de $p$ a $q$ ). Si $r$ parametriza $γ$ para $t$ en $[a, b]$ (es decir, $r$ representa $γ$ como una función de $t$ ), entonces

${\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}$

donde la definición de una integral de línea se utiliza en la primera igualdad, la ecuación anterior se utiliza en la segunda igualdad y el segundo teorema fundamental del cálculo se utiliza en la tercera igualdad. ^[1]

Aunque el teorema del gradiente (también llamado teorema fundamental del cálculo para integrales de línea ) se ha demostrado hasta ahora para una curva diferenciable (por lo que parece suave), el teorema también se demuestra para una curva suave por partes, ya que esta curva se forma uniendo múltiples curvas diferenciables, por lo que la prueba para esta curva se hace mediante la prueba por componente de curva diferenciable. ^[2]

Ejemplos

Ejemplo 1

Supongamos que $γ \subset R 2$ es el arco circular orientado en sentido antihorario desde $(5, 0)$ hasta $(-4, 3)$ . Utilizando la definición de una integral de línea ,

${\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}$

Este resultado se puede obtener de forma mucho más sencilla observando que la función tiene gradiente , por lo que por el Teorema del Gradiente: $f(x,y)=xy$ $\nabla f(x,y)=(y,x)$

$\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.$

Ejemplo 2

Para un ejemplo más abstracto, supongamos que $γ \subset R n$ tiene extremos $p$ , $q$ , con orientación de $p$ a $q$ . Para $u$ en $R n$ , sea $| u |$ la norma euclidiana de $u$ . Si $α \geq 1$ es un número real, entonces

${\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}$

Aquí la igualdad final se sigue por el teorema del gradiente, ya que la función $f (x) = | x | α +1$ es diferenciable en $R n$ si $α \geq 1$ .

Si $α < 1$ , esta igualdad se mantendrá en la mayoría de los casos, pero se debe tener cuidado si γ pasa por el origen o lo encierra, porque el campo vectorial integrando $| x | α - 1 x$ no estará definido allí. Sin embargo, el caso $α = -1$ es algo diferente; en este caso, el integrando se convierte en $| x | -2 x = \nabla(log | x |)$ , de modo que la igualdad final se convierte en $log | q | - log | p |$ .

Tenga en cuenta que si $n = 1$ , entonces este ejemplo es simplemente una ligera variante de la conocida regla de potencia del cálculo de una sola variable.

Ejemplo 3

Supongamos que hay $n$ cargas puntuales dispuestas en un espacio tridimensional, y la $i$ -ésima carga puntual tiene carga $Q i$ y está ubicada en la posición $p i$ en $R 3$ . Nos gustaría calcular el trabajo realizado sobre una partícula de carga $q$ a medida que viaja desde un punto $a$ a un punto $b$ en $R 3$ . Usando la ley de Coulomb , podemos determinar fácilmente que la fuerza sobre la partícula en la posición $r$ será

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}$

Aquí $| u |$ denota la norma euclidiana del vector $u$ en $R 3$ , y $k = 1/(4 πε 0)$ , donde $ε 0$ es la permitividad del vacío .

Sea $γ \subset R 3 - {p 1, ..., p n}$ una curva arbitraria diferenciable de $a$ a $b$ . Entonces el trabajo realizado sobre la partícula es

$W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)$

Ahora, para cada $i$ , el cálculo directo muestra que

${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.$

Así, continuando desde arriba y utilizando el teorema del gradiente,

$W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)$

Hemos terminado. Por supuesto, podríamos haber completado fácilmente este cálculo utilizando el poderoso lenguaje del potencial electrostático o la energía potencial electrostática (con las conocidas fórmulas $W = -Δ U = - q Δ V$ ). Sin embargo, aún no hemos definido el potencial o la energía potencial, porque se requiere el inverso del teorema del gradiente para demostrar que se trata de funciones bien definidas y diferenciables y que estas fórmulas se cumplen (ver más abajo). Por lo tanto, hemos resuelto este problema utilizando únicamente la Ley de Coulomb, la definición de trabajo y el teorema del gradiente.

Recíproco del teorema del gradiente

El teorema del gradiente establece que si el campo vectorial $F$ es el gradiente de alguna función escalar (es decir, si $F$ es conservativa ), entonces $F$ es un campo vectorial independiente de la trayectoria (es decir, la integral de $F$ sobre alguna curva diferenciable por partes depende solo de los puntos finales). Este teorema tiene una poderosa recíproca:

Teorema : Si $F$ es un campo vectorial independiente de la trayectoria, entonces $F$ es el gradiente de alguna función de valor escalar. ^[3]

Es fácil demostrar que un campo vectorial es independiente de la trayectoria si y solo si la integral del campo vectorial sobre cada bucle cerrado en su dominio es cero. Por lo tanto, la inversa puede enunciarse alternativamente de la siguiente manera: si la integral de $F$ sobre cada bucle cerrado en el dominio de $F$ es cero, entonces $F$ es el gradiente de alguna función escalar.

Prueba del recíproco

Supóngase que $U$ es un subconjunto abierto y conexo por trayectorias de $R n$ , y $F : U \to R n$ es un campo vectorial continuo e independiente de la trayectoria. Fijemos algún elemento $a$ de $U$ , y definamos $f : U \to R$ mediante Aquí $γ$ $[$ $a$ $,$ $x$ $]$ es cualquier curva (diferenciable) en $U$ que se origina en $a$ y termina en $x$ . Sabemos que $f$ está bien definida porque $F$ es independiente de la trayectoria. $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$

Sea $v$ cualquier vector distinto de cero en $R n$ . Por la definición de la derivada direccional , Para calcular la integral dentro del límite final, debemos parametrizar $γ$ $[$ $x$ $,$ $x$ $+$ $t$ $v$ $]$ . Dado que $F$ es independiente de la trayectoria, $U$ es abierto y $t$ se acerca a cero, podemos suponer que esta trayectoria es una línea recta y parametrizarla como $u$ $($ $s$ $) =$ $x$ $+$ $s$ $v$ para $0 <$ $s$ $<$ $t$ . Ahora, dado que $u'$ $($ $s$ $) =$ $v$ , el límite se convierte en donde la primera igualdad es de la definición de la derivada con el hecho de que la integral es igual a 0 en $t$ = 0, y la segunda igualdad es del primer teorema fundamental del cálculo . Por lo tanto, tenemos una fórmula para $\partial$ $v$ $f$ , (una de las formas de representar la derivada direccional ) donde $v$ es arbitrario; para (ver su definición completa arriba), su derivada direccional con respecto a $v$ es donde las dos primeras igualdades simplemente muestran diferentes representaciones de la derivada direccional. De acuerdo con la definición del gradiente de una función escalar $f$ , , hemos encontrado una función escalar $f$ cuyo gradiente es el campo vectorial independiente de la trayectoria $F$ (es decir, $F$ es un campo vectorial conservativo), como se deseaba. ^[3] ${\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}$ $\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$ $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$ ${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$ $\nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )$

Ejemplo del principio inverso

Para ilustrar el poder de este principio inverso, citaremos un ejemplo que tiene consecuencias físicas significativas . En el electromagnetismo clásico , la fuerza eléctrica es una fuerza independiente de la trayectoria; es decir, el trabajo realizado sobre una partícula que ha regresado a su posición original dentro de un campo eléctrico es cero (suponiendo que no haya campos magnéticos cambiantes).

Por lo tanto, el teorema anterior implica que el campo de fuerza eléctrico $F e : S \to R 3$ es conservativo (aquí $S$ es un subconjunto abierto y conectado por trayectorias de $R 3$ que contiene una distribución de carga ). Siguiendo las ideas de la prueba anterior, podemos fijar un punto de referencia $a$ en $S$ y definir una función $U e : S \to R$ mediante

$U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$

Utilizando la prueba anterior, sabemos que $U e$ está bien definida y es diferenciable, y $F e = -\nabla U e$ (de esta fórmula podemos usar el teorema del gradiente para derivar fácilmente la conocida fórmula para calcular el trabajo realizado por fuerzas conservativas: $W = -Δ U$ ). Esta función $U e$ se suele denominar energía potencial electrostática del sistema de cargas en $S$ (con referencia al cero de potencial $a$ ). En muchos casos, se supone que el dominio $S$ no tiene límites y se toma el punto de referencia $a$ como "infinito", lo que se puede hacer riguroso utilizando técnicas de limitación. Esta función $U e$ es una herramienta indispensable utilizada en el análisis de muchos sistemas físicos.

Generalizaciones

Muchos de los teoremas críticos del cálculo vectorial se generalizan elegantemente a afirmaciones sobre la integración de formas diferenciales en variedades . En el lenguaje de las formas diferenciales y las derivadas externas , el teorema del gradiente establece que

$\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi$

para cualquier forma 0 , $ϕ$ , definida en alguna curva diferenciable $γ \subset R n$ (aquí la integral de $ϕ$ sobre el límite de $γ$ se entiende como la evaluación de $ϕ$ en los puntos finales de γ ).

Obsérvese la sorprendente similitud entre esta afirmación y el teorema de Stokes generalizado , que dice que la integral de cualquier forma diferencial compactamente soportada $ω$ sobre el límite de alguna variedad orientable $Ω$ es igual a la integral de su derivada exterior $d ω$ sobre todo $Ω$ , es decir,

$\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega$

Esta poderosa afirmación es una generalización del teorema de gradiente desde formas 1 definidas en variedades unidimensionales a formas diferenciales definidas en variedades de dimensión arbitraria.

El enunciado inverso del teorema del gradiente también tiene una poderosa generalización en términos de formas diferenciales en variedades. En particular, supongamos que $ω$ es una forma definida en un dominio contráctil , y la integral de $ω$ sobre cualquier variedad cerrada es cero. Entonces existe una forma $ψ$ tal que $ω = d ψ$ . Por lo tanto, en un dominio contráctil, toda forma cerrada es exacta . Este resultado se resume en el lema de Poincaré .

Véase también

Referencias

^ Williamson, Richard E.; Trotter, Hale F. (2004). Matemáticas multivariables . Pearson Education International (4.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall . pág. 374. ISBN. 978-0-13-067276-6.
^ Stewart, James ; Clegg, Dan; Watson, Saleem (2021). "16.3 El teorema fundamental para integrales de línea". Cálculo (novena edición). Australia; Boston, MA, EE. UU.: Cengage . págs. 1182–1185. ISBN 978-1-337-62418-3.
^ Véase Williamson y Trotter 2004, pág. 410