Teorema del mayor peso.

En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el teorema de mayor peso clasifica las representaciones irreductibles de un álgebra de Lie compleja semisimple . ^{[1] [2]} Existe un teorema estrechamente relacionado que clasifica las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto conexo . ^[3] El teorema establece que existe una biyección ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lambda \mapsto [V^{\lambda }]}$

del conjunto de "elementos integrales dominantes" al conjunto de clases de equivalencia de representaciones irreducibles de o . La diferencia entre los dos resultados está en la noción precisa de "integral" en la definición de elemento integral dominante. Si es simplemente conexo, esta distinción desaparece. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El teorema fue demostrado originalmente por Élie Cartan en su artículo de 1913. ^[4] La versión del teorema para un grupo de Lie compacto se debe a Hermann Weyl . El teorema es una de las piezas clave de la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples .

Declaración

Caso de álgebra de mentiras

Sea un álgebra de Lie compleja semisimple de dimensión finita con subálgebra de Cartan . Sea el sistema raíz asociado . Entonces decimos que un elemento es integral ^[5] si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle 2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$

es un número entero para cada raíz . A continuación, elegimos un conjunto de raíces positivas y decimos que un elemento es dominante si para todos . Un elemento integral dominante si es a la vez dominante e integral. Finalmente, si y están en , decimos que es mayor ^[6] que si es expresable como una combinación lineal de raíces positivas con coeficientes reales no negativos. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$

El peso de una representación de se denomina peso más alto si es mayor que cualquier otro peso de . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V}$

El teorema del peso más alto establece entonces: ^[2]

• Si es una representación irreducible de dimensión finita de , entonces tiene un peso máximo único, y este peso máximo es la integral dominante. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$
• Si dos representaciones irreducibles de dimensión finita tienen el mismo peso máximo, son isomorfas.
• Para cada elemento integral dominante , existe una representación irreducible de dimensión finita con mayor peso . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

La parte más difícil es la última; la construcción de una representación irreducible de dimensión finita con un peso máximo prescrito.

El caso del grupo compacto

Sea un grupo de Lie compacto conexo con álgebra de Lie y sea la complejización de . Sea un toro máximo con álgebra de Lie . Entonces es una subálgebra de Cartan de , y podemos formar el sistema de raíces asociado . La teoría procede entonces de manera muy parecida a como en el caso del álgebra de Lie, con una diferencia crucial: la noción de integralidad es diferente. Específicamente, decimos que un elemento es analíticamente integral ^[7] si ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}:={\mathfrak {t}}+i{\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \langle \lambda ,H\rangle }$

es un número entero siempre que

${\displaystyle e^{2\pi H}=I}$

¿Dónde está el elemento de identidad de ? Todo elemento analíticamente integral es integral en el sentido del álgebra de Lie, ^[8] pero puede haber elementos integrales en el sentido del álgebra de Lie que no son analíticamente integrales. Esta distinción refleja el hecho de que si no está simplemente conectado, puede haber representaciones de que no provengan de representaciones de . Por otro lado, si es simplemente conexo, las nociones de "integral" y "analíticamente integral" coinciden. ^[3] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El teorema de mayor peso para las representaciones de ^[9] es entonces el mismo que en el caso del álgebra de Lie, excepto que "integral" se reemplaza por "analíticamente integral". ${\displaystyle K}$

Pruebas

Hay al menos cuatro pruebas:

• Prueba original de Hermann Weyl desde el punto de vista del grupo compacto, ^[10] basada en la fórmula del carácter de Weyl y el teorema de Peter-Weyl .
• La teoría de los módulos Verma contiene el teorema de mayor peso. Éste es el enfoque adoptado en muchos libros de texto estándar (por ejemplo, Humphreys y la Parte II de Hall).
• El teorema de Borel-Weil-Bott construye una representación irreducible como el espacio de secciones globales de un paquete de líneas amplio; Como consecuencia se obtiene el teorema del peso más alto. (El enfoque utiliza bastante geometría algebraica pero produce una prueba muy rápida).
• El enfoque teórico invariante : se construyen representaciones irreducibles como subrepresentaciones de una potencia tensorial de las representaciones estándar. Este enfoque se debe esencialmente a H. Weyl y funciona bastante bien para grupos clásicos.

Ver también

• Clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie
• Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conectado
• Pesos en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples

Notas

1. Dixmier 1996, Teorema 7.2.6.
2. Hall 2015 Teoremas 9.4 y 9.5
3. Hall 2015 Teorema 12.6
4. Knapp, AW (2003). "Trabajo revisado: Grupos matriciales: una introducción a la teoría de grupos de mentiras, Andrew Baker; Grupos de mentiras: una introducción a través de grupos lineales, Wulf Rossmann". El Mensual Matemático Estadounidense . 110 (5): 446–455. doi :10.2307/3647845. JSTOR  3647845.
5. Salón 2015 Sección 8.7
6. Salón 2015 Sección 8.8
7. Salón 2015 Definición 12.4
8. Propuesta 12.7 del Salón 2015
9. Salón 2015 Corolario 13.20
10. Salón 2015 Capítulo 12

Referencias

• Dixmier, Jacques (1996) [1974], Álgebras envolventes, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 11, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-0560-2, señor  0498740
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972a), Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación , Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.