En geometría diferencial, la fórmula de localización establece: para una forma diferencial equivariante cerrada equivariantemente en un orbifold M con una acción de toro y para un suficientemente pequeño en el álgebra de Lie del toro T ,
donde la suma recorre todos los componentes conexos F del conjunto de puntos fijos , es la multiplicidad orbifold de M ( que es uno si M es una variedad) y es la forma de Euler equivariante del fibrado normal de F.
La fórmula permite calcular el anillo de cohomología equivariante del orbifold M (un tipo particular de pila diferenciable ) a partir de la cohomología equivariante de sus componentes de punto fijo, hasta multiplicidades y formas de Euler. Ningún análogo de tales resultados se cumple en la cohomología no equivariante.
Una consecuencia importante de la fórmula es el teorema de Duistermaat-Heckman , que establece: suponiendo que hay una acción circular hamiltoniana (para simplificar) en una variedad simpléctica compacta M de dimensión 2 n ,
donde H es hamiltoniano para la acción del círculo, la suma es sobre puntos fijados por la acción del círculo y son valores propios en el espacio tangente en p (cf. acción del grupo de Lie ).
La fórmula de localización también puede calcular la transformada de Fourier de la órbita coadjunta (forma simpléctica de Kostant), lo que produce la fórmula de integración de Harish-Chandra, que a su vez da la fórmula de carácter de Kirillov .
El teorema de localización para cohomología equivariante en coeficientes no racionales se analiza en los artículos de Daniel Quillen .
El teorema de localización establece que la cohomología equivariante puede recuperarse, hasta los elementos de torsión, a partir de la cohomología equivariante del subconjunto de punto fijo. Esto no se aplica, literalmente, a la acción no abeliana. Pero todavía existe una versión del teorema de localización para acciones no abelianas.
