Teorema de multiplicación

Identidad obedecida por muchas funciones especiales relacionadas con la función gamma.

En matemáticas , el teorema de la multiplicación es un cierto tipo de identidad obedecido por muchas funciones especiales relacionadas con la función gamma . Para el caso explícito de la función gamma, la identidad es producto de valores; de ahí el nombre. Todas las diversas relaciones surgen del mismo principio subyacente; es decir, la relación para una función especial puede derivarse de la de las demás y es simplemente una manifestación de la misma identidad en diferentes formas.

característica finita

El teorema de la multiplicación adopta dos formas comunes. En el primer caso, se suma o multiplica un número finito de términos para obtener la relación. En el segundo caso, se suma o multiplica un número infinito de términos. La forma finita normalmente ocurre solo para las funciones gamma y relacionadas, para las cuales la identidad se deriva de una relación p-ádica sobre un campo finito . Por ejemplo, el teorema de multiplicación de la función gamma se deriva de la fórmula de Chowla-Selberg , que se deriva de la teoría de la multiplicación compleja . Las sumas infinitas son mucho más comunes y se derivan de relaciones cero características en la serie hipergeométrica.

A continuación se tabulan las diversas apariencias del teorema de la multiplicación para características finitas; las relaciones cero características se dan más abajo. En todos los casos, n y k son números enteros no negativos. Para el caso especial de n  = 2, el teorema se conoce comúnmente como fórmula de duplicación .

Función gamma – fórmula Legendre

La fórmula de duplicación y el teorema de multiplicación de la función gamma son ejemplos prototípicos. La fórmula de duplicación para la función gamma es

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

También se le llama fórmula de duplicación de Legendre ^[1] o relación de Legendre , en honor a Adrien-Marie Legendre . El teorema de la multiplicación es

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{\frac {1-2kz}{2}}\;\Gamma (kz)}$

para entero k ≥ 1, y a veces se le llama fórmula de multiplicación de Gauss , en honor a Carl Friedrich Gauss . El teorema de la multiplicación de las funciones gamma puede entenderse como un caso especial, para el carácter trivial de Dirichlet , de la fórmula de Chowla-Selberg .

función seno

Fórmulas de duplicación formalmente similares son válidas para la función seno, que son consecuencias bastante simples de las identidades trigonométricas . Aquí se tiene la fórmula de duplicación.

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}\sin(2\pi x)}$

y, de manera más general, para cualquier número entero k , se tiene

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{k}}\right)\right)\cdots \sin \left(\pi \left(x+{\frac {k-1}{k}}\right)\right)=2^{1-k}\sin(k\pi x)}$

Función poligamma, números armónicos.

La función poligamma es la derivada logarítmica de la función gamma y, por tanto, el teorema de la multiplicación se vuelve aditivo, en lugar de multiplicativo:

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

para , y para , se tiene la función digamma : ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

Las identidades poligamma se pueden utilizar para obtener un teorema de multiplicación de números armónicos .

Función zeta de Hurwitz

Porque la función zeta de Hurwitz generaliza la función poligamma a órdenes no enteros y, por tanto, obedece a un teorema de multiplicación muy similar:

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

¿Dónde está la función zeta de Riemann ? Este es un caso especial de ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle k^{s}\,\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)}$

y

${\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).}$

Las fórmulas de multiplicación para los caracteres no principales se pueden dar en forma de funciones L de Dirichlet .

Función zeta periódica

La función zeta periódica ^[2] a veces se define como

${\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)}$

donde Li _s ( z ) es el polilogaritmo . Obedece la fórmula de duplicación.

${\displaystyle 2^{1-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right).}$

Como tal, es un vector propio del operador de Bernoulli con valor propio 2 ^{1− s} . El teorema de la multiplicación es

${\displaystyle k^{1-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right).}$

La función zeta periódica ocurre en la fórmula de reflexión de la función zeta de Hurwitz, razón por la cual la relación a la que obedece, y la relación zeta de Hurwitz, difieren por el intercambio de  s  → 1− s .

Los polinomios de Bernoulli se pueden obtener como un caso límite de la función zeta periódica, tomando s como un número entero y, por lo tanto, el teorema de la multiplicación se puede derivar de lo anterior. De manera similar, sustituir  q  = log  z conduce al teorema de multiplicación del polilogaritmo.

polilogaritmo

La fórmula de duplicación toma la forma

${\displaystyle 2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2})=\operatorname {Li} _{s}(z)+\operatorname {Li} _{s}(-z).}$

La fórmula general de multiplicación tiene la forma de suma de Gauss o transformada discreta de Fourier :

${\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\left(ze^{i2\pi n/k}\right).}$

Estas identidades se derivan de la de la función zeta periódica, tomando  z  = log  q .

función de kummer

La fórmula de duplicación de la función de Kummer es

${\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)}$

y por tanto se parece al del polilogaritmo, pero torcido por  i .

polinomios de Bernoulli

Para los polinomios de Bernoulli , los teoremas de multiplicación los dio Joseph Ludwig Raabe en 1851:

${\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)}$

y para los polinomios de Euler ,

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=1,3,\dots }$

y

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=2,4,\dots .}$

Los polinomios de Bernoulli pueden obtenerse como un caso especial de la función zeta de Hurwitz y, por tanto, las identidades se derivan de allí.

mapa de Bernoulli

El mapa de Bernoulli es un modelo simple de un sistema dinámico disipativo , que describe el efecto de un operador de desplazamiento en una cadena infinita de lanzamientos de monedas (el conjunto de Cantor ). El mapa de Bernoulli es una versión unilateral del mapa de Baker , estrechamente relacionado . El mapa de Bernoulli se generaliza a una versión k-ádica , que actúa sobre infinitas cadenas de k símbolos: este es el esquema de Bernoulli . El operador de transferencia correspondiente al operador de turno en el esquema de Bernoulli viene dado por ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)}$

Quizás no sea sorprendente que los vectores propios de este operador estén dados por los polinomios de Bernoulli. Es decir uno tiene eso

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}}$

Es el hecho de que los valores propios lo marcan como un sistema disipativo: para un sistema dinámico no disipativo que preserva la medida , los valores propios del operador de transferencia se encuentran en el círculo unitario. ${\displaystyle k^{-m}<1}$

Se puede construir una función que obedezca el teorema de la multiplicación a partir de cualquier función totalmente multiplicativa . Sea totalmente multiplicativo; es decir, para cualquier número entero m , n . Defina su serie de Fourier como ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)}$

Suponiendo que la suma converge, de modo que g ( x ) existe, entonces se tiene que obedece al teorema de la multiplicación; eso es eso

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)}$

Es decir, g ( x ) es una función propia del operador de transferencia de Bernoulli, con valor propio f ( k ). El teorema de la multiplicación de los polinomios de Bernoulli se sigue como un caso especial de la función multiplicativa . Los caracteres de Dirichlet son completamente multiplicativos y, por tanto, pueden utilizarse fácilmente para obtener identidades adicionales de esta forma. ${\displaystyle f(n)=n^{-s}}$

Característica cero

El teorema de la multiplicación sobre un cuerpo de característica cero no se cierra después de un número finito de términos, sino que requiere una serie infinita para expresarse. Los ejemplos incluyen el de la función de Bessel : ${\displaystyle J_{\nu }(z)}$

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$

donde y pueden tomarse como números complejos arbitrarios. Estas identidades de característica cero se derivan generalmente de una de muchas identidades posibles en la serie hipergeométrica. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu }$

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Fórmula de duplicación legendaria". MundoMatemático .
2. Apostol, Introducción a la teoría analítica de números , Springer

Referencias

• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas , (1972) Dover, Nueva York. (Los teoremas de multiplicación se enumeran individualmente capítulo por capítulo)
• C. Truesdell, "Sobre los teoremas de la suma y la multiplicación para funciones especiales", Actas de la Academia Nacional de Ciencias, Matemáticas , (1950) págs.