Teorema de equioscilación

Teorema

En matemáticas , el teorema de equioscilación se refiere a la aproximación de funciones continuas mediante polinomios cuando la función de mérito es la diferencia máxima ( norma uniforme ). Su descubrimiento se atribuye a Chebyshev . ^[1]

Declaración

Sea una función continua de a . Entre todos los polinomios de grado , el polinomio minimiza la norma uniforme de la diferencia si y solo si hay puntos tales que donde es -1 o +1. ^{[1] [2]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \|f-g\|_{\infty }}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n+1}\leq b}$ ${\displaystyle f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}\|f-g\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \sigma }$

Variantes

El teorema de equioscilación también es válido cuando los polinomios se sustituyen por funciones racionales: entre todas las funciones racionales cuyo numerador tiene grado y denominador tiene grado , la función racional , siendo y polinomios relativamente primos de grado y , minimiza la norma uniforme de la diferencia si y sólo si hay puntos tales que donde es -1 o +1. ^[1] ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle \leq m}$ ${\displaystyle g=p/q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n-\nu }$ ${\displaystyle m-\mu }$ ${\displaystyle \|f-g\|_{\infty }}$ ${\displaystyle m+n+2-\min\{\mu ,\nu \}}$ ${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n+1}\leq b}$ ${\displaystyle f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}\|f-g\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \sigma }$

Algoritmos

Hay varios algoritmos de aproximación minimax disponibles, siendo el más común el algoritmo Remez .

Referencias

1. Golomb, Michael (1962). Lecciones sobre teoría de aproximación.
2. "Notas sobre cómo demostrar el teorema de equioscilación de Chebyshev" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2 de julio de 2011 . Consultado el 22 de abril de 2022 .

Enlaces externos

• Notas sobre cómo demostrar el teorema de equioscilación de Chebyshev en Wayback Machine (archivado el 2 de julio de 2011)
• El teorema de equioscilación de Chebyshev de Robert Mayans
• El teorema de alternancia de De la Vallée-Poussin en la Enciclopedia de Matemáticas
• Teoría de la aproximación de Remco Bloemen