En matemáticas , y más específicamente en teoría de anillos , el teorema de Krull , llamado así en honor a Wolfgang Krull , afirma que un anillo distinto de cero [1] tiene al menos un ideal máximo . El teorema fue demostrado en 1929 por Krull, quien utilizó la inducción transfinita . El teorema admite una demostración simple utilizando el lema de Zorn , y de hecho es equivalente al lema de Zorn , [2] que a su vez es equivalente al axioma de elección .
Variantes
- Para anillos no conmutativos , también se cumplen los análogos de los ideales máximos izquierdos y máximos derechos.
- Para pseudoanillos , el teorema es válido para ideales regulares .
- Un resultado ligeramente más sólido (pero equivalente), que se puede demostrar de manera similar, es el siguiente:
- Sea R un anillo y sea I un ideal propio de R. Entonces existe un ideal máximo de R que contiene a I.
- Este resultado implica el teorema original, al tomar I como el ideal cero (0). Por el contrario, aplicar el teorema original a R / I conduce a este resultado.
- Para probar directamente el resultado más fuerte, considere el conjunto S de todos los ideales propios de R que contienen I. El conjunto S no está vacío ya que I ∈ S . Además, para cualquier cadena T de S , la unión de los ideales en T es un ideal J , y una unión de ideales que no contiene 1 no contiene 1, por lo que J ∈ S. Según el lema de Zorn, S tiene un elemento máximo M . Este M es un ideal máximo que contiene I .
Notas
Referencias
