Teorema de dualidad de Fenchel

En matemáticas, el teorema de dualidad de Fenchel es un resultado de la teoría de funciones convexas que lleva el nombre de Werner Fenchel .

Sea ƒ una función convexa propia en R ⁿ y sea g una función cóncava propia en R ⁿ . Entonces, si se cumplen las condiciones de regularidad,

${\displaystyle \inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{*}(p)-f^{*}(p)).}$

donde ƒ  ^* es el conjugado convexo de ƒ (también conocido como transformada de Fenchel-Legendre) y g  _* es el conjugado cóncavo de g . Es decir,

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

${\displaystyle g_{*}\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$

Teorema matemático

Sean X e Y espacios de Banach , y funciones convexas y una función lineal acotada . Entonces los problemas de Fenchel: ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$

${\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}$

${\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}$

satisfacen la dualidad débil , es decir , . Nótese que son los conjugados convexos de f , g respectivamente, y es el operador adjunto . La función de perturbación para este problema dual está dada por . ${\displaystyle p^{*}\geq d^{*}}$ ${\displaystyle f^{*},g^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)}$

Supóngase que f , g y A satisfacen cualquiera de las dos

1. f y g son semicontinuos inferiores y donde es el interior algebraico y , donde h es alguna función, es el conjunto , o ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)}$ ${\displaystyle \operatorname {core} }$ ${\displaystyle \operatorname {dom} h}$ ${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}$
2. ${\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset }$¿Dónde están los puntos donde la función es continua ? ${\displaystyle \operatorname {cont} }$

Entonces se cumple una fuerte dualidad , es decir, si entonces se alcanza el supremo . ^[1] ${\displaystyle p^{*}=d^{*}}$ ${\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} }$

Ilustración unidimensional

En la siguiente figura se ilustra el problema de minimización en el lado izquierdo de la ecuación. Se busca variar x de modo que la distancia vertical entre las curvas convexa y cóncava en x sea lo más pequeña posible. La posición de la línea vertical en la figura es la óptima (aproximada).

La siguiente figura ilustra el problema de maximización en el lado derecho de la ecuación anterior. Se dibujan tangentes a cada una de las dos curvas de modo que ambas tangentes tengan la misma pendiente p . El problema es ajustar p de modo que las dos tangentes estén lo más alejadas posible entre sí (más precisamente, de modo que los puntos en los que se cruzan con el eje y estén lo más alejados posible entre sí). Imaginemos las dos tangentes como barras de metal con resortes verticales entre ellas que las separan y las empujan contra las dos parábolas que están fijas en su lugar.

El teorema de Fenchel establece que los dos problemas tienen la misma solución. Los puntos que tienen la mínima separación vertical son también los puntos de tangencia para las tangentes paralelas con la máxima separación.

Véase también

• Transformación de Legendre
• Conjugado convexo
• Teorema de Moreau
• Dualidad de Wolfe
• Werner Fenchel

Referencias

1. Borwein, Jonathan; Zhu, Qiji (2005). Técnicas de Análisis Variacional . Saltador. págs. 135-137. ISBN 978-1-4419-2026-3.

• Bauschke, Heinz H.; Combettes, Patrick L. (2017). "Dualidad Fenchel–Rockafellar". Análisis convexo y teoría de operadores monótonos en espacios de Hilbert . Springer. págs. 247–262. doi :10.1007/978-3-319-48311-5_15. ISBN . 978-3-319-48310-8.
• Rockafellar, Ralph Tyrrell (1996). Análisis convexo . Princeton University Press. pág. 327. ISBN 0-691-01586-4.