Desigualdad isoembólica de Berger

En matemáticas , la desigualdad isoembólica de Berger es un resultado de la geometría de Riemann que proporciona un límite inferior para el volumen de una variedad de Riemann y también proporciona una condición necesaria y suficiente para que la variedad sea isométrica a la esfera de dimensión $m$ con su métrica "redonda" habitual. El teorema recibe su nombre del matemático Marcel Berger , quien lo derivó de una desigualdad demostrada por Jerry Kazdan .

Enunciado del teorema

Sea $(M, g)$ una variedad riemanniana cerrada de dimensión $m con$ radio de inyectividad $inj(M)$ . Sea $vol(M)$ el volumen riemanniano de $M$ y sea $c m$ el volumen de la esfera estándar de dimensión $m$ de radio uno. Entonces

\mathrm {vol} (M)\geq {\frac {c_{m}(\mathrm {inj} (M))^{m}}{\pi ^{m}}},

con igualdad si y solo si $(M, g)$ es isométrica a la $m$ -esfera con su métrica redonda habitual. Este resultado se conoce como desigualdad isoembólica de Berger . ^[1] La prueba se basa en una desigualdad analítica demostrada por Kazdan. ^[2] El trabajo original de Berger y Kazdan aparece en los apéndices del libro de Arthur Besse "Variedades todas cuyas geodésicas son cerradas". En esta etapa, la desigualdad isoembólica apareció con una constante no óptima. ^[3] A veces, la desigualdad de Kazdan se llama desigualdad de Berger-Kazdan . ^[4]

Referencias

^ Berger 2003, Teorema 148; Chavel 1984, Teorema V.22; Chavel 2006, Teorema VII.2.2; Sakai 1996, Teorema VI.2.1.
^ Berger 2003, Lema 158; Besse 1978, Apéndice E; Chavel 1984, Teorema V.1; Chavel 2006, Teorema VII.2.1; Sakai 1996, Proposición VI.2.2.
^ Besse 1978, Apéndice D.
^ Chavel 1984, Teorema V.1.

Libros.

Berger, Marcel (2003). Una visión panorámica de la geometría de Riemann . Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-18245-7. ISBN . 3-540-65317-1.MR 2002701.Zbl 1038.53002 .
Besse, Arthur L. (1978). Colectores todas cuyas geodésicas están cerradas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 93. Apéndices de DBA Epstein , J.-P. Bourguignon , L. Bérard-Bergery, M. Berger y JL Kazdan . Berlín-Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-61876-5. ISBN 3-540-08158-5. Sr. 0496885. Zbl 0387.53010.
Chavel, Isaac (1984). Valores propios en la geometría de Riemann . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 115. Orlando, FL: Academic Press . doi :10.1016/s0079-8169(08)x6051-9. ISBN . 0-12-170640-0. Sr. 0768584. Zbl 0551.53001.
Chavel, Isaac (2006). Geometría de Riemann. Una introducción moderna . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 98 (Segunda edición de la edición original de 1993). Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511616822. ISBN . 978-0-521-61954-7.MR 2229062.Zbl 1099.53001 .
Sakai, Takashi (1996). Geometría de Riemann . Traducciones de monografías matemáticas. Vol. 149. Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/mmono/149. ISBN. 0-8218-0284-4.MR 1390760.Zbl 0886.53002 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Teorema de comparación de Berger-Kazdan". MundoMatemático .