Teorema de Topkis

En economía matemática , el teorema de Topkis es un resultado útil para establecer estática comparativa . El teorema permite a los investigadores comprender cómo cambia el valor óptimo de una variable de elección cuando cambia una característica del entorno. El resultado establece que si f es supermodular en ( x , θ ), y D es una red , entonces es no decreciente en θ . El resultado es especialmente útil para establecer resultados de estática comparativa cuando la función objetivo no es diferenciable. El resultado lleva el nombre de Donald M. Topkis. ${\displaystyle x^{*}(\theta )=\arg \max _{x\in D}f(x,\theta )}$

Un ejemplo

Este ejemplo muestra cómo el uso del teorema de Topkis da el mismo resultado que el uso de herramientas más estándar. La ventaja de utilizar el teorema de Topkis es que se puede aplicar a una clase más amplia de problemas que los que se pueden estudiar con herramientas económicas estándar.

Un conductor conduce por una autopista y debe elegir una velocidad, s . Ir más rápido es deseable, pero es más probable que resulte en un accidente. Hay cierta prevalencia de baches, p . La presencia de baches aumenta la probabilidad de accidente. Nótese que s es una variable de elección y p es un parámetro del entorno que es fijo desde la perspectiva del conductor. El conductor busca . ${\displaystyle \max _{s}U(s,p)}$

Nos gustaría entender cómo cambia la velocidad del conductor (una variable de elección) con la cantidad de baches:

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}.}$

Si uno quisiera resolver el problema con herramientas estándar como el teorema de la función implícita , tendría que asumir que el problema se comporta bien: U (.) es dos veces continuamente diferenciable, cóncava en s , que el dominio sobre el que se define s es convexo, y que hay un único maximizador para cada valor de p y que está en el interior del conjunto sobre el que se define s . Nótese que la velocidad óptima es una función de la cantidad de baches. Tomando la condición de primer orden, sabemos que en el óptimo, . Derivando la condición de primer orden, con respecto a p y usando el teorema de la función implícita, encontramos que ${\displaystyle s^{\ast }(p)}$ ${\displaystyle s^{\ast }(p)}$ ${\displaystyle U_{s}(s^{\ast }(p),p)=0}$

${\displaystyle U_{ss}(s^{\ast }(p),p)(\partial s^{\ast }(p)/(\partial p))+U_{sp}(s^{\ast }(p),p)=0}$

o eso

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}={\underset {{\text{negative since we assumed }}U(.){\text{ was concave in }}s}{\underbrace {\frac {-U_{sp}(s^{\ast }(p),p)}{U_{ss}(s^{\ast }(p),p)}} }}.}$

Entonces,

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}{\overset {\text{sign}}{=}}U_{sp}(s^{\ast }(p),p).}$

Si s y p son sustitutos,

${\displaystyle U_{sp}(s^{\ast }(p),p)<0}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}<0}$

Y cuanto más baches haya, menos exceso de velocidad habrá. Es evidente que es más razonable suponer que son sustitutos.

El problema con el enfoque anterior es que se basa en la diferenciabilidad de la función objetivo y en la concavidad. Podríamos llegar a la misma respuesta utilizando el teorema de Topkis de la siguiente manera. Queremos demostrar que es submodular (lo opuesto de supermodular) en . Nótese que el conjunto de elección es claramente una red. El parcial cruzado de U es negativo, , es una condición suficiente. Por lo tanto, si sabemos que . ${\displaystyle U(s,p)}$ ${\displaystyle \left(s,p\right)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial s\,\partial p}}<0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial s\,\partial p}}<0,}$ ${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}<0}$

Por lo tanto, utilizar el teorema de la función implícita y el teorema de Topkis da el mismo resultado, pero este último lo hace con menos suposiciones.

Notas y referencias

• Amir, Rabah (2005). "Supermodularidad y complementariedad en economía: un estudio elemental". Revista Económica del Sur . 71 (3): 636–660. doi :10.2307/20062066. JSTOR  20062066.
• Topkis, Donald M. (1978). "Minimización de una función submodular en una red". Investigación de operaciones . 26 (2): 305–321. CiteSeerX  10.1.1.557.5908 . doi :10.1287/opre.26.2.305.
• Topkis, Donald M. (1998). Supermodularidad y complementariedad . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-03244-3.