teorema de wold

Teorema de los procesos estacionarios.

En estadística , la descomposición de Wold o el teorema de representación de Wold (que no debe confundirse con el teorema de Wold que es el análogo en tiempo discreto del teorema de Wiener-Khinchin ), que lleva el nombre de Herman Wold , dice que toda serie de tiempo estacionaria con covarianza se puede escribir. como la suma de dos series de tiempo, una determinista y otra estocástica . ${\displaystyle Y_{t}}$

Formalmente

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{t-j}+\eta _{t},}$

dónde:

• ${\displaystyle Y_{t}}$¿Es la serie de tiempo que se está considerando?

• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$Es una secuencia no correlacionada que es el proceso de innovación del proceso , es decir, un proceso de ruido blanco que ingresa al filtro lineal . ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \{b_{j}\}}$

• ${\displaystyle b}$es el vector posiblemente infinito de pesos promedio móviles (coeficientes o parámetros)

• ${\displaystyle \eta _{t}}$es una serie temporal "determinista", en el sentido de que está completamente determinada como una combinación lineal de sus valores pasados ​​(ver, por ejemplo, Anderson (1971) Ch. 7, Sección 7.6.3. pp. 420-421). Puede incluir "términos deterministas" como ondas seno/coseno de , pero es un proceso estocástico y también es estacionario en covarianza, no puede ser un proceso determinista arbitrario que viole la estacionariedad. ${\displaystyle t}$

Los coeficientes de media móvil tienen estas propiedades:

1. Estable, es decir, sumable al cuadrado < ${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}}$ ${\displaystyle \infty }$
2. Causal (es decir, no hay términos con j < 0)
3. Demora mínima ^{[ se necesita aclaración ]}
4. Constante ( independiente de t ) ${\displaystyle b_{j}}$
5. Es convencional definir ${\displaystyle b_{0}=1}$

Este teorema puede considerarse como un teorema de existencia: cualquier proceso estacionario tiene esta representación aparentemente especial. No sólo es notable la existencia de una representación lineal y exacta tan simple, sino que lo es aún más la naturaleza especial del modelo de media móvil. Imagine crear un proceso que sea un promedio móvil pero que no satisfaga estas propiedades 1 a 4. Por ejemplo, los coeficientes podrían definir un modelo acausal y de retraso no mínimo ^{[ se necesita aclaración ]} . Sin embargo el teorema asegura la existencia de una media móvil causal de retardo mínimo ^{[ se necesita aclaración ]} que representa exactamente este proceso. En Scargle (1981) se analiza cómo funciona todo esto para el caso de causalidad y la propiedad de retraso mínimo, donde se analiza una extensión de la descomposición de Wold. ${\displaystyle b_{j}}$

La utilidad del Teorema de Wold es que permite aproximar mediante un modelo lineal la evolución dinámica de una variable . Si las innovaciones son independientes , entonces el modelo lineal es la única representación posible que relaciona el valor observado de con su evolución pasada. Sin embargo, cuando es simplemente una secuencia no correlacionada pero no independiente, entonces el modelo lineal existe pero no es la única representación de la dependencia dinámica de la serie. En este último caso, es posible que el modelo lineal no sea muy útil y exista un modelo no lineal que relacione el valor observado de con su evolución pasada. Sin embargo, en el análisis práctico de series de tiempo , a menudo ocurre que solo se consideran predictores lineales, en parte por motivos de simplicidad, en cuyo caso la descomposición de Wold es directamente relevante. ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$

La representación de Wold depende de un número infinito de parámetros, aunque en la práctica suelen decaer rápidamente. El modelo autorregresivo es una alternativa que puede tener sólo unos pocos coeficientes si la media móvil correspondiente tiene muchos. Estos dos modelos se pueden combinar en un modelo de media móvil autorregresiva (ARMA) o en un modelo de media móvil autorregresiva integrada (ARIMA) si se trata de no estacionariedad. Véase Scargle (1981) y las referencias allí; Además, este artículo ofrece una extensión del teorema de Wold que permite una mayor generalidad para la media móvil (no necesariamente estable, causal o con un retraso mínimo) acompañada de una caracterización más precisa de la innovación (distribuida de forma idéntica e independiente, no sólo no correlacionada). Esta extensión permite la posibilidad de modelos que sean más fieles a los procesos físicos o astrofísicos y, en particular, puedan sentir "la flecha del tiempo ".

Referencias

• Anderson, TW (1971). El análisis estadístico de series temporales . Wiley.
• Nerlove, M .; Grether, David M.; Carvalho, José L. (1995). Análisis de series temporales económicas (edición revisada). San Diego: Prensa académica. págs. 30–36. ISBN 0-12-515751-7.
• Scargle, JD (1981). Estudios en análisis de series temporales astronómicas. I – Modelado de procesos aleatorios en el dominio del tiempo . Serie de suplementos de revistas astrofísicas. vol. 45, págs. 1–71.
• Wold, H. (1954) Un estudio sobre el análisis de series temporales estacionarias , segunda edición revisada, con un apéndice sobre "Desarrollos recientes en el análisis de series temporales" de Peter Whittle . Almqvist y Wiksell Book Co., Uppsala.