Teorema de van Cittert-Zernike

Una fuente espacialmente incoherente parece ser (espacialmente) coherente si se ve desde lejos. En la visualización las tres fuentes (puntos negros) son incoherentes entre sí, las líneas grises son los ceros del campo de cada fuente (en un tiempo fijo), y la línea negra el cero del campo total.

El teorema de van Cittert-Zernike , que lleva el nombre de los físicos Pieter Hendrik van Cittert y Frits Zernike , ^[1] es una fórmula de la teoría de la coherencia que establece que, bajo ciertas condiciones, la transformada de Fourier de la función de distribución de intensidad de una fuente distante e incoherente es igual a su compleja visibilidad . ^{[2] [3]} Esto implica que el frente de onda de una fuente incoherente parecerá mayoritariamente coherente a grandes distancias. Intuitivamente, esto puede entenderse considerando los frentes de onda creados por dos fuentes incoherentes. Si medimos el frente de onda inmediatamente frente a una de las fuentes, nuestra medición estará dominada por la fuente cercana. Si hacemos la misma medición lejos de las fuentes, nuestra medición ya no estará dominada por una única fuente; Ambas fuentes contribuirán casi por igual al frente de onda a grandes distancias.

Este razonamiento se puede visualizar fácilmente dejando caer dos piedras en el centro de un estanque en calma. Cerca del centro del estanque, la perturbación creada por las dos piedras será muy complicada. Sin embargo, a medida que la perturbación se propaga hacia el borde del estanque, las ondas se suavizarán y parecerán casi circulares.

El teorema de van Cittert-Zernike tiene importantes implicaciones para la radioastronomía . A excepción de los púlsares y los máseres , todas las fuentes astronómicas son espacialmente incoherentes. Sin embargo, debido a que se observan a distancias lo suficientemente grandes como para satisfacer el teorema de van Cittert-Zernike, estos objetos exhiben un grado de coherencia distinto de cero en diferentes puntos del plano de imagen. Midiendo el grado de coherencia en diferentes puntos del plano de imagen (la llamada " función de visibilidad ") de un objeto astronómico, un radioastrónomo puede reconstruir la distribución del brillo de la fuente y hacer un mapa bidimensional de la apariencia de la fuente.

Declaración del teorema

Consideremos dos planos paralelos muy distantes, ambos perpendiculares a la línea de visión, y llamémoslos plano de origen y plano de observación ; Si es la función de coherencia mutua entre dos puntos en el plano de observación, entonces ${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm}$

donde y son los cosenos directores de un punto en una fuente distante en el plano de la fuente, y son respectivamente la distancia x y la distancia y entre los dos puntos de observación en el plano de observación en unidades de longitud de onda y es la intensidad de la fuente . ^[4] Este teorema fue deducido por primera vez por Pieter Hendrik van Cittert ^[5] en 1934 con una demostración más simple proporcionada por Frits Zernike en 1938. ^[6] ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle I}$

Este teorema seguirá siendo confuso para algunos ingenieros o científicos debido a su naturaleza estadística y a su diferencia con los métodos de procesamiento de correlación simple o incluso de covarianza. Una buena referencia (que aún puede no aclarar el problema para algunos usuarios, pero tiene un excelente esquema para explicar el método) es Goodman, que comienza en la página 207. ^[7]

La función de coherencia mutua

La función de coherencia mutua para algún campo eléctrico medido en dos puntos en un plano de observación (llamémoslos 1 y 2) se define como ${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )dt}$

donde es el tiempo de compensación entre la medición de en los puntos de observación 1 y 2. La coherencia mutua del campo en dos puntos puede considerarse como la correlación cruzada promediada en el tiempo entre los campos eléctricos en los dos puntos separados en el tiempo por . Por lo tanto, si estamos observando dos fuentes completamente incoherentes, deberíamos esperar que la función de coherencia mutua sea relativamente pequeña entre los dos puntos aleatorios en el plano de observación, porque las fuentes interferirán tanto destructiva como constructivamente. Sin embargo, lejos de las fuentes, deberíamos esperar que la función de coherencia mutua sea relativamente grande porque la suma de los campos observados será casi la misma en dos puntos cualesquiera. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle E(t)}$ ${\displaystyle \tau }$

La normalización de la función de coherencia mutua al producto de las raíces cuadradas de las intensidades de los dos campos eléctricos produce el grado complejo de coherencia (de segundo orden) (función de coeficiente de correlación):

${\displaystyle \gamma _{12}(\tau )={\frac {\Gamma _{12}(\tau )}{{\sqrt {I_{1}}}{\sqrt {I_{2}}}}}}$

Prueba del teorema

Sean y respectivamente las coordenadas cartesianas del plano de origen y del plano de observación. Supongamos que el campo eléctrico debido a algún punto de la fuente en el plano de la fuente se mide en dos puntos, y , en el plano de observación. La posición de un punto en la fuente puede denominarse mediante sus cosenos directores . (Dado que la fuente está distante, su dirección debe ser la misma en que en ). El campo eléctrico medido en se puede escribir usando fasores : ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle (l,m)}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

La fuente está en el plano XY , que se muestra en la parte superior de la figura, y el detector está en el plano xy , que se muestra en la parte inferior de la figura. Considere el campo eléctrico en dos puntos, y , en el plano de detección debido a algún punto de la fuente cuyas coordenadas están dadas por los cosenos directores y ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle E_{1}(l,m,t)=A\left(l,m,t-{\frac {R_{1}}{c}}\right){\frac {e^{-i\omega \left(t-{\frac {R_{1}}{c}}\right)}}{R_{1}}}}$

donde es la distancia desde la fuente a , es la frecuencia angular de la luz y es la amplitud compleja del campo eléctrico. De manera similar, el campo eléctrico medido en se puede escribir como ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle E_{2}(l,m,t)=A\left(l,m,t-{\frac {R_{2}}{c}}\right){\frac {e^{-i\omega \left(t-{\frac {R_{2}}{c}}\right)}}{R_{2}}}}$

Calculemos ahora la correlación cruzada promediada en el tiempo entre el campo eléctrico en y : ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle {\big \langle }E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t){\big \rangle }={\Bigg \langle }A\left(l,m,t-{\frac {R_{1}}{c}}\right)A^{*}\left(l,m,t-{\frac {R_{2}}{c}}\right){\Bigg \rangle }\times {\frac {e^{i\omega {\frac {R_{1}}{c}}}}{R_{1}}}\times {\frac {e^{-i\omega {\frac {R_{2}}{c}}}}{R_{2}}}}$

Debido a que la cantidad entre paréntesis angulares es un promedio temporal, se puede agregar un desplazamiento arbitrario al término temporal de las amplitudes siempre que se agregue el mismo desplazamiento a ambos. Sumemos ahora el término temporal de ambas amplitudes. Por lo tanto, la correlación cruzada promediada en el tiempo del campo eléctrico en los dos puntos se simplifica a ${\displaystyle {\frac {R_{1}}{c}}}$

${\displaystyle {\big \langle }E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t){\big \rangle }={\Bigg \langle }A(l,m,t)A^{*}\left(l,m,t-{\frac {R_{2}-R_{1}}{c}}\right){\Bigg \rangle }\times {\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}}$

Pero si la fuente está en el campo lejano entonces la diferencia entre y será pequeña en comparación con la distancia que recorre la luz en el tiempo . ( es del mismo orden que el ancho de banda inverso ). Por lo tanto, esta pequeña corrección puede despreciarse, simplificando aún más nuestra expresión para la correlación cruzada del campo eléctrico en y hacia ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle \langle E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t)\rangle =\langle A(l,m,t)A^{*}(l,m,t)\rangle \times {\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}}$

Ahora bien, es simplemente la intensidad de la fuente en un punto particular . Entonces nuestra expresión para la correlación cruzada se simplifica aún más para ${\displaystyle \langle A(l,m,t)A^{*}(l,m,t)\rangle }$ ${\displaystyle I(l,m)}$

${\displaystyle \langle E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t)\rangle =I(l,m){\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}}$

Para calcular la función de coherencia mutua a partir de esta expresión, simplemente integre toda la fuente.

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {source}}I(l,m){\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}\,dS}$

Tenga en cuenta que los términos cruzados del formulario no se incluyen debido a la suposición de que la fuente es incoherente. Por tanto, la correlación promediada en el tiempo entre dos puntos diferentes de la fuente será cero. ${\displaystyle \langle A_{1}(l,m,t)A_{2}^{*}(l,m,t)\rangle }$

Luego reescribe el término usando y . Para hacer esto, deje y . Esto da ${\displaystyle R_{2}-R_{1}}$ ${\displaystyle u,v,l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle R_{1}={\sqrt {R^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\,}$

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {R^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\,}$

donde es la distancia entre el centro del plano de observación y el centro de la fuente. La diferencia entre y así se convierte ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle R_{2}-R_{1}=R{\sqrt {1+{\frac {x_{2}^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{R^{2}}}}}-R{\sqrt {1+{\frac {x_{1}^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{R^{2}}}}}}$

Pero como y son todos mucho menores que , las raíces cuadradas se pueden expandir de Taylor , lo que da como resultado, de primer orden, ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{2}-R_{1}=R\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}{R^{2}}}\right)\right)-R\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}{R^{2}}}\right)\right)}$

que, después de alguna manipulación algebraica, se simplifica a

${\displaystyle R_{2}-R_{1}={\frac {1}{2R}}\left((x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})+(y_{2}-y_{1})(y_{2}+y_{1})\right)}$

Ahora, es el punto medio a lo largo del eje entre y , por lo que nos da , uno de los cosenos directores de las fuentes. Similarmente, . Además, recuerde que se definió como el número de longitudes de onda a lo largo del eje entre y . Entonces ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{1})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2R}}(x_{2}+x_{1})}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m={\frac {1}{2R}}(y_{2}+y_{1})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle u={\frac {\omega }{2\pi c}}(x_{1}-x_{2})}$

De manera similar, es el número de longitudes de onda entre y a lo largo del eje -, entonces ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle v={\frac {\omega }{2\pi c}}(y_{1}-y_{2})}$

Por eso

${\displaystyle R_{2}-R_{1}={\frac {2\pi c}{\omega }}(ul+vm)}$

Porque y son todos mucho menores que , . El elemento del área diferencial, puede entonces escribirse como un elemento diferencial de ángulo sólido de . Nuestra expresión para la función de coherencia mutua se convierte en ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1},}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{1}\simeq R_{2}\simeq R}$ ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle R^{2}\,dl\,dm}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {source}}I(l,m)e^{-{\frac {i\omega }{c}}{\frac {2\pi c}{\omega }}(ul+vm)}\,dl\,dm}$

Lo que se reduce a

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {source}}I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm}$

Pero los límites de estas dos integrales se pueden extender para cubrir todo el plano de la fuente siempre que la función de intensidad de la fuente se establezca en cero en estas regiones. Por eso,

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm}$

que es la transformada de Fourier bidimensional de la función de intensidad. Esto completa la prueba.

Supuestos del teorema

El teorema de Van Cittert-Zernike se basa en una serie de suposiciones, todas las cuales son aproximadamente ciertas para casi todas las fuentes astronómicas. Aquí se analizan los supuestos más importantes del teorema y su relevancia para las fuentes astronómicas.

Incoherencia de la fuente

Una fuente espacialmente coherente no obedece al teorema de van Cittert-Zernike. Para ver por qué es así, supongamos que observamos una fuente que consta de dos puntos, y . Calculemos la función de coherencia mutua entre y en el plano de observación. Según el principio de superposición , el campo eléctrico en es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

${\displaystyle E_{1}=E_{a1}+E_{b1}}$

y en es ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle E_{2}=E_{a2}+E_{b2}}$

entonces la función de coherencia mutua es

${\displaystyle \langle E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )\rangle =\langle (E_{a1}(t)+E_{b1}(t))(E_{a2}^{*}(t-\tau )+E_{b2}^{*}(t-\tau ))\rangle }$

que se convierte

${\displaystyle \langle E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )\rangle =\langle E_{a1}(t)E_{a2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{a1}(t)E_{b2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{b1}(t)E_{a2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{b1}(t)E_{b2}^{*}(t-\tau )\rangle }$

Si los puntos y son coherentes, entonces los términos cruzados en la ecuación anterior no desaparecen. En este caso, cuando calculamos la función de coherencia mutua para una fuente coherente extendida, no podríamos simplemente integrar la función de intensidad de la fuente; la presencia de términos cruzados distintos de cero no daría a la función de coherencia mutua una forma simple. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Esta suposición es válida para la mayoría de las fuentes astronómicas. Los púlsares y los máseres son las únicas fuentes astronómicas que presentan coherencia.

Distancia a la fuente

En la demostración del teorema asumimos que y . Es decir, suponemos que la distancia a la fuente es mucho mayor que el tamaño del área de observación. Más precisamente, el teorema de van Cittert-Zernike requiere que observemos la fuente en el llamado campo lejano. Por lo tanto, si es el tamaño característico del área de observación (por ejemplo, en el caso de un radiotelescopio de dos antenas , la longitud de la línea de base entre los dos telescopios), entonces ${\displaystyle R\gg x_{1}-x_{2}}$ ${\displaystyle R\gg y_{1}-y_{2}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle R\gg {\frac {D^{2}}{\lambda }}}$

Utilizando una línea de base razonable de 20 km para el Very Large Array a una longitud de onda de 1 cm, la distancia del campo lejano es del orden m. Por tanto, cualquier objeto astronómico a una distancia mayor que un parsec se encuentra en el campo lejano. Sin embargo, los objetos del Sistema Solar no están necesariamente en el campo lejano, por lo que el teorema de van Cittert-Zernike no se aplica a ellos. ${\displaystyle 4\times 10^{10}}$

Tamaño angular de la fuente.

En la derivación del teorema de van Cittert-Zernike escribimos los cosenos directores y como y . Sin embargo, existe un coseno de tercera dirección que se desprecia desde y ; bajo estos supuestos está muy cerca de la unidad. Pero si la fuente tiene una extensión angular grande, no podemos descuidar este coseno de tercera dirección y el teorema de van Cittert-Zernike ya no se cumple. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})/R}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})/R}$ ${\displaystyle R\gg {\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})}$ ${\displaystyle R\gg {\frac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})}$

Debido a que la mayoría de las fuentes astronómicas abarcan ángulos muy pequeños en el cielo (normalmente mucho menores que un grado), esta suposición del teorema se cumple fácilmente en el ámbito de la radioastronomía.

Ondas cuasi monocromáticas

El teorema de van Cittert-Zernike supone que la fuente es casi monocromática. Es decir, si la fuente emite luz en un rango de frecuencias, con frecuencia media , entonces debería satisfacer ${\displaystyle \Delta \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}\lesssim 1}$

Además, el ancho de banda debe ser lo suficientemente estrecho como para

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}\ll {\frac {1}{lu}}}$

donde es nuevamente el coseno director que indica el tamaño de la fuente y es el número de longitudes de onda entre un extremo de la apertura y el otro. Sin este supuesto, no podemos descuidar en comparación con ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (R_{2}-R_{1})/c}$ ${\displaystyle t}$

Este requisito implica que un radioastrónomo debe restringir las señales a través de un filtro de paso de banda . Debido a que los radiotelescopios casi siempre pasan la señal a través de un filtro de paso de banda relativamente estrecho, esta suposición normalmente se cumple en la práctica.

fuente bidimensional

Suponemos que nuestra fuente se encuentra en un plano bidimensional. En realidad, las fuentes astronómicas son tridimensionales. Sin embargo, debido a que están en el campo lejano, su distribución angular no cambia con la distancia. Por lo tanto, cuando medimos una fuente astronómica, su estructura tridimensional se proyecta sobre un plano bidimensional. Esto significa que el teorema de van Cittert-Zernike puede aplicarse a mediciones de fuentes astronómicas, pero no podemos determinar la estructura a lo largo de la línea de visión con tales mediciones.

Homogeneidad del medio.

El teorema de van Cittert-Zernike supone que el medio entre la fuente y el plano de imagen es homogéneo. Si el medio no es homogéneo, entonces la luz de una región de la fuente se refractará diferencialmente con respecto a otras regiones de la fuente debido a la diferencia en el tiempo de viaje de la luz a través del medio. En el caso de un medio heterogéneo se debe utilizar una generalización del teorema de van Cittert-Zernike, llamada fórmula de Hopkins.

Debido a que el frente de onda no pasa a través de un medio perfectamente uniforme mientras viaja a través del medio interestelar (y posiblemente intergaláctico ) hacia la atmósfera terrestre , el teorema de van Cittert-Zernike no es exactamente válido para las fuentes astronómicas. En la práctica, sin embargo, las variaciones en el índice de refracción de los medios interestelares e intergalácticos y de la atmósfera terrestre son lo suficientemente pequeñas como para que el teorema sea aproximadamente cierto dentro de cualquier error experimental razonable. Tales variaciones en el índice de refracción del medio resultan sólo en ligeras perturbaciones en el caso de un frente de onda que viaja a través de un medio homogéneo.

La fórmula de Hopkins

Supongamos que tenemos una situación idéntica a la considerada cuando se derivó el teorema de van Cittert-Zernike, excepto que el medio ahora es heterogéneo. Por tanto, introducimos la función de transmisión del medio, . Siguiendo una derivación similar a la anterior, encontramos que ${\displaystyle K(l,m,P,\nu )}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(l,m,0)=\lambda ^{2}\iint I(l,m)K(l,m,P_{1},\nu )K^{*}(l,m,P_{2},\nu )\,dS}$

si definimos

${\displaystyle U(l,m,P_{1})\equiv i\lambda K(l,m,P_{1},\nu ){\sqrt {I(l,m)}}}$

entonces la función de coherencia mutua se convierte en

${\displaystyle \Gamma _{12}(l,m,0)=\iint U(l,m,P_{1})U^{*}(l,m,P_{2})\,dS}$

que es la generalización de Hopkins del teorema de van Cittert-Zernike. ^[8] En el caso especial de un medio homogéneo, la función de transmisión se convierte en

${\displaystyle K(l,m,P,\nu )=-{\frac {ie^{ikR}}{\lambda R}}}$

en cuyo caso la función de coherencia mutua se reduce a la transformada de Fourier de la distribución de brillo de la fuente. La principal ventaja de la fórmula de Hopkins es que se puede calcular indirectamente la función de coherencia mutua de una fuente midiendo su distribución de brillo.

Aplicaciones del teorema

Síntesis de apertura

El teorema de van Cittert-Zernike es crucial para medir la distribución del brillo de una fuente. Con dos telescopios, un radioastrónomo (o un astrónomo infrarrojo o submilimétrico) puede medir la correlación entre el campo eléctrico en las dos antenas parabólicas debido a algún punto de la fuente. Al medir esta correlación para muchos puntos de la fuente, el astrónomo puede reconstruir la función de visibilidad de la fuente. Aplicando el teorema de van Cittert-Zernike, el astrónomo puede tomar la transformada inversa de Fourier de la función de visibilidad para descubrir la distribución del brillo de la fuente. Esta técnica se conoce como síntesis de apertura o imagen de síntesis.

En la práctica, los radioastrónomos rara vez recuperan la distribución del brillo de una fuente tomando directamente la transformada inversa de Fourier de una función de visibilidad medida. Tal proceso requeriría un número suficiente de muestras para satisfacer el teorema de muestreo de Nyquist ; Se trata de muchas más observaciones de las necesarias para reconstruir aproximadamente la distribución del brillo de la fuente. Por tanto, los astrónomos aprovechan las limitaciones físicas de la distribución del brillo de las fuentes astronómicas para reducir el número de observaciones que deben realizarse. Debido a que la distribución del brillo debe ser real y positiva en todas partes, la función de visibilidad no puede tomar valores arbitrarios en regiones no muestreadas. Por lo tanto, se puede utilizar un algoritmo de deconvolución no lineal como CLEAN o Máxima Entropía para reconstruir aproximadamente la distribución de brillo de la fuente a partir de un número limitado de observaciones. ^[9]

Óptica adaptativa

El teorema de van Cittert-Zernike también impone restricciones a la sensibilidad de un sistema de óptica adaptativa . En un sistema de óptica adaptativa (AO), se proporciona un frente de onda distorsionado que debe transformarse en un frente de onda libre de distorsión. Un sistema AO debe realizar varias correcciones diferentes para eliminar las distorsiones del frente de onda. Una de esas correcciones implica dividir el frente de onda en dos frentes de onda idénticos y desplazar uno de ellos a cierta distancia física en el plano del frente de onda. Luego, los dos frentes de onda se superponen, creando un patrón de franjas. Al medir el tamaño y la separación de las franjas, el sistema AO puede determinar las diferencias de fase a lo largo del frente de onda. ^[10] Esta técnica se conoce como "cizallamiento". ${\displaystyle s}$

La sensibilidad de esta técnica está limitada por el teorema de van Cittert-Zernike. ^[11] Si se toma una imagen de una fuente extendida, el contraste entre las franjas se reducirá en un factor proporcional a la transformada de Fourier de la distribución de brillo de la fuente. ^[12] El teorema de van Cittert-Zernike implica que la coherencia mutua de una fuente extendida fotografiada por un sistema AO será la transformada de Fourier de su distribución de brillo. Por tanto, una fuente ampliada cambiará la coherencia mutua de las franjas, reduciendo su contraste.

Láser de electrones libres

El teorema de van Cittert-Zernike se puede utilizar para calcular la coherencia espacial parcial de la radiación de un láser de electrones libres .

Ver también

• Grado de coherencia
• Teoría de la coherencia
• Visibilidad
• Efecto Hanbury Brown y Twiss
• Correlaciones de Bose-Einstein

Referencias

1. Leonardo Mandel; Emil Wolf (1995). Coherencia óptica y óptica cuántica (edición ilustrada, reimpresa). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 188.ISBN _ 978-0-521-41711-2.Extracto de la página 188
2. Geoffrey Brooker (2003). Óptica clásica moderna (edición ilustrada, reimpresa). OUP Oxford. pag. 227.ISBN _ 978-0-19-859965-4.Extracto de la página 227
3. LJ Chou (2009). Dispositivos fotónicos y electrónicos unidimensionales a nanoescala 3 (NODEPD 3) (edición ilustrada). La Sociedad Electroquímica. pag. 16.ISBN _ 978-1-56677-747-6.Extracto de la página 16
4. Thompson, AR; Morán, JM; Swenson, GW (2017). Teorema de Van Cittert-Zernike, coherencia espacial y dispersión. En: Interferometría y Síntesis en Radioastronomía. Biblioteca de Astronomía y Astrofísica . Springer, Cham. doi :10.1007/978-3-319-44431-4_15. ISBN 978-3-319-44431-4.
5. PH van Cittert (1934). "Die Wahrscheinliche Schwingungsverteilung in Einer von Einer Lichtquelle Direkt Oder Mittels Einer Linse Beleuchteten Ebene". Física . 1 (1–6): 201–210. Código bibliográfico : 1934Phy......1..201V. doi :10.1016/S0031-8914(34)90026-4.
6. F.Zernike (1938). "El concepto de grado de coherencia y su aplicación a problemas ópticos". Física . 5 (8): 785–795. Código bibliográfico : 1938Phy.....5..785Z. doi :10.1016/S0031-8914(38)80203-2.
7. Goodman, Joseph W. (1985). Óptica Estadística . John Wiley & Sons, Inc.
8. Born and Wolf, Principios de óptica , págs.510
9. Burke y Graham-Smith, Introducción a la radioastronomía , págs.92
10. F. Roddier, Óptica adaptativa en astronomía , págs.95
11. J. Hardy, Óptica adaptativa para telescopios astronómicos , págs.159
12. Koliopoulos, Appl. Optar , 19 , 1523 (1980)

Bibliografía

• Born, M. & Wolf, E .: Principios de óptica , Pergamon Press, Oxford, 1987, p. 510
• Klein, Miles V. & Furtak, Thomas E .: Optics , John Wiley & Sons, Nueva York, 1986, 2.ª edición, p. 544-545

enlaces externos

• Conferencia sobre el teorema de Van Cittert-Zernike con aplicaciones. Universidad de Berkeley, prof. David T. Attwood en YouTube (AST 210/EE 213 Conferencia 23)]