Teorema de van Cittert-Zernike

El teorema de van Cittert-Zernike , llamado así por los físicos Pieter Hendrik van Cittert y Frits Zernike , ^[1] es una fórmula en la teoría de la coherencia que establece que bajo ciertas condiciones la transformada de Fourier de la función de distribución de intensidad de una fuente distante e incoherente es igual a su visibilidad compleja . ^{[2] [3]} Esto implica que el frente de onda de una fuente incoherente parecerá mayoritariamente coherente a grandes distancias. Intuitivamente, esto se puede entender considerando los frentes de onda creados por dos fuentes incoherentes. Si medimos el frente de onda inmediatamente frente a una de las fuentes, nuestra medición estará dominada por la fuente cercana. Si hacemos la misma medición lejos de las fuentes, nuestra medición ya no estará dominada por una sola fuente; ambas fuentes contribuirán casi por igual al frente de onda a grandes distancias.

Una fuente espacialmente incoherente parece ser (espacialmente) coherente si se la observa desde lejos. En la visualización, las tres fuentes (puntos negros) son incoherentes entre sí; las líneas grises son los ceros del campo de cada fuente (en un tiempo fijo) y la línea negra, el cero del campo total. Curiosamente, la coherencia de las ondas puede existir en un estado de coherencia total, coherencia parcial o incoherencia. ^[4]

Este razonamiento se puede visualizar fácilmente si dejamos caer dos piedras en el centro de un estanque en calma. Cerca del centro del estanque, la perturbación creada por las dos piedras será muy complicada. Sin embargo, a medida que la perturbación se propague hacia el borde del estanque, las ondas se suavizarán y parecerán casi circulares.

El teorema de van Cittert-Zernike tiene importantes implicaciones para la radioastronomía . Con excepción de los púlsares y los máseres , todas las fuentes astronómicas son espacialmente incoherentes. Sin embargo, debido a que se observan a distancias lo suficientemente grandes como para satisfacer el teorema de van Cittert-Zernike, estos objetos exhiben un grado de coherencia distinto de cero en diferentes puntos del plano de imagen. Al medir el grado de coherencia en diferentes puntos del plano de imagen (la llamada " función de visibilidad ") de un objeto astronómico, un radioastrónomo puede reconstruir la distribución del brillo de la fuente y hacer un mapa bidimensional de la apariencia de la fuente.

Enunciado del teorema

Consideremos dos planos paralelos muy distantes, ambos perpendiculares a la línea de visión, y llamémoslos plano fuente y plano de observación ; Si es la función de coherencia mutua entre dos puntos en el plano de observación, entonces ${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm}$

donde y son los cosenos directores de un punto en una fuente distante en el plano de la fuente, y son respectivamente la distancia x y la distancia y entre los dos puntos de observación en el plano de observación en unidades de longitud de onda y es la intensidad de la fuente. ^[5] Este teorema fue derivado por primera vez por Pieter Hendrik van Cittert ^[6] en 1934 con una prueba más simple proporcionada por Frits Zernike en 1938. ^[7] ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle I}$

Este teorema resultará confuso para algunos ingenieros o científicos debido a su naturaleza estadística y a su diferencia con los métodos de procesamiento de correlación simple o incluso de covarianza. Una buena referencia (que tal vez no aclare la cuestión para algunos usuarios, pero que contiene un buen esbozo para explicar el método) es Goodman, a partir de la página 207. ^[8]

La función de coherencia mutua

La función de coherencia mutua para un campo eléctrico medido en dos puntos de un plano de observación (llamémoslos 1 y 2), se define como ${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )dt}$

donde es el desfase temporal entre la medición de en los puntos de observación 1 y 2. La coherencia mutua del campo en dos puntos puede considerarse como la correlación cruzada promediada en el tiempo entre los campos eléctricos en los dos puntos separados en el tiempo por . Por lo tanto, si estamos observando dos fuentes completamente incoherentes, deberíamos esperar que la función de coherencia mutua sea relativamente pequeña entre los dos puntos aleatorios en el plano de observación, porque las fuentes interferirán destructivamente y también de manera constructiva. Sin embargo, lejos de las fuentes, deberíamos esperar que la función de coherencia mutua sea relativamente grande porque la suma de los campos observados será casi la misma en cualesquiera dos puntos. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle E(t)}$ ${\displaystyle \tau }$

La normalización de la función de coherencia mutua al producto de las raíces cuadradas de las intensidades de los dos campos eléctricos produce el grado complejo de coherencia (de segundo orden) (función de coeficiente de correlación):

${\displaystyle \gamma _{12}(\tau )={\frac {\Gamma _{12}(\tau )}{{\sqrt {I_{1}}}{\sqrt {I_{2}}}}}}$

Prueba del teorema

Sean y las coordenadas cartesianas del plano de la fuente y del plano de observación, respectivamente. Supóngase que el campo eléctrico debido a algún punto de la fuente en el plano de la fuente se mide en dos puntos, y , en el plano de observación. La posición de un punto en la fuente puede indicarse mediante sus cosenos directores . (Dado que la fuente está distante, su dirección debería ser la misma en que en ). El campo eléctrico medido en puede entonces escribirse utilizando fasores : ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle (l,m)}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

La fuente está en el plano XY , que se muestra en la parte superior de la figura, y el detector está en el plano xy , que se muestra en la parte inferior de la figura. Considere el campo eléctrico en dos puntos, y , en el plano de detección debido a algún punto en la fuente cuyas coordenadas están dadas por los cosenos directores y ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle E_{1}(l,m,t)=A\left(l,m,t-{\frac {R_{1}}{c}}\right){\frac {e^{-i\omega \left(t-{\frac {R_{1}}{c}}\right)}}{R_{1}}}}$

donde es la distancia desde la fuente hasta , es la frecuencia angular de la luz y es la amplitud compleja del campo eléctrico. De manera similar, el campo eléctrico medido en se puede escribir como ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle E_{2}(l,m,t)=A\left(l,m,t-{\frac {R_{2}}{c}}\right){\frac {e^{-i\omega \left(t-{\frac {R_{2}}{c}}\right)}}{R_{2}}}}$

Calculemos ahora la correlación cruzada promediada en el tiempo entre el campo eléctrico en y : ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle {\big \langle }E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t){\big \rangle }={\Bigg \langle }A\left(l,m,t-{\frac {R_{1}}{c}}\right)A^{*}\left(l,m,t-{\frac {R_{2}}{c}}\right){\Bigg \rangle }\times {\frac {e^{i\omega {\frac {R_{1}}{c}}}}{R_{1}}}\times {\frac {e^{-i\omega {\frac {R_{2}}{c}}}}{R_{2}}}}$

Como la cantidad entre paréntesis angulares está promediada en el tiempo, se puede añadir un desfase arbitrario al término temporal de las amplitudes, siempre que se añada el mismo desfase a ambas. Ahora, añadamos al término temporal de ambas amplitudes. Por lo tanto, la correlación cruzada promediada en el tiempo del campo eléctrico en los dos puntos se simplifica a ${\displaystyle {\frac {R_{1}}{c}}}$

${\displaystyle {\big \langle }E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t){\big \rangle }={\Bigg \langle }A(l,m,t)A^{*}\left(l,m,t-{\frac {R_{2}-R_{1}}{c}}\right){\Bigg \rangle }\times {\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}}$

Pero si la fuente está en el campo lejano , entonces la diferencia entre y será pequeña en comparación con la distancia que viaja la luz en el tiempo ( es del mismo orden que el ancho de banda inverso ). Por lo tanto, esta pequeña corrección se puede descuidar, simplificando aún más nuestra expresión para la correlación cruzada del campo eléctrico en y hacia ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle \langle E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t)\rangle =\langle A(l,m,t)A^{*}(l,m,t)\rangle \times {\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}}$

Ahora bien, es simplemente la intensidad de la fuente en un punto particular, . Por lo tanto, nuestra expresión para la correlación cruzada se simplifica aún más a ${\displaystyle \langle A(l,m,t)A^{*}(l,m,t)\rangle }$ ${\displaystyle I(l,m)}$

${\displaystyle \langle E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t)\rangle =I(l,m){\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}}$

Para calcular la función de coherencia mutua a partir de esta expresión, simplemente integre sobre toda la fuente.

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {source}}I(l,m){\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}\,dS}$

Obsérvese que los términos cruzados de la forma no se incluyen debido a la suposición de que la fuente es incoherente. Por lo tanto, la correlación promediada en el tiempo entre dos puntos diferentes de la fuente será cero. ${\displaystyle \langle A_{1}(l,m,t)A_{2}^{*}(l,m,t)\rangle }$

A continuación, reescribe el término utilizando y . Para ello, sea y . Esto da ${\displaystyle R_{2}-R_{1}}$ ${\displaystyle u,v,l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle R_{1}={\sqrt {R^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\,}$

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {R^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\,}$

donde es la distancia entre el centro del plano de observación y el centro de la fuente. La diferencia entre y se convierte así en ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle R_{2}-R_{1}=R{\sqrt {1+{\frac {x_{2}^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{R^{2}}}}}-R{\sqrt {1+{\frac {x_{1}^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{R^{2}}}}}}$

Pero como y son todos mucho menores que , las raíces cuadradas pueden ser desarrolladas por Taylor , obteniéndose, en primer orden, ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{2}-R_{1}=R\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}{R^{2}}}\right)\right)-R\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}{R^{2}}}\right)\right)}$

que, después de alguna manipulación algebraica, se simplifica a

${\displaystyle R_{2}-R_{1}={\frac {1}{2R}}\left((x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})+(y_{2}-y_{1})(y_{2}+y_{1})\right)}$

Ahora, es el punto medio a lo largo del eje entre y , por lo que nos da , uno de los cosenos directores de las fuentes. De manera similar, . Además, recuerde que se definió como el número de longitudes de onda a lo largo del eje entre y . Por lo tanto ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{1})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2R}}(x_{2}+x_{1})}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m={\frac {1}{2R}}(y_{2}+y_{1})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle u={\frac {\omega }{2\pi c}}(x_{1}-x_{2})}$

De manera similar, es el número de longitudes de onda entre y a lo largo del eje , entonces ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle v={\frac {\omega }{2\pi c}}(y_{1}-y_{2})}$

Por eso

${\displaystyle R_{2}-R_{1}={\frac {2\pi c}{\omega }}(ul+vm)}$

Como y son todos mucho menores que , . El elemento de área diferencial, , puede entonces escribirse como un elemento diferencial de ángulo sólido de . Nuestra expresión para la función de coherencia mutua se convierte en ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1},}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{1}\simeq R_{2}\simeq R}$ ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle R^{2}\,dl\,dm}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {source}}I(l,m)e^{-{\frac {i\omega }{c}}{\frac {2\pi c}{\omega }}(ul+vm)}\,dl\,dm}$

Lo que se reduce a

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {source}}I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm}$

Pero los límites de estas dos integrales se pueden extender para cubrir todo el plano de la fuente siempre que la función de intensidad de la fuente se establezca como cero en estas regiones. Por lo tanto,

${\displaystyle \Gamma _{12}(u,v,0)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm}$

que es la transformada de Fourier bidimensional de la función de intensidad. Esto completa la prueba.

Supuestos del teorema

El teorema de van Cittert-Zernike se basa en una serie de supuestos, todos los cuales son aproximadamente ciertos para casi todas las fuentes astronómicas. En este artículo se analizan los supuestos más importantes del teorema y su relevancia para las fuentes astronómicas.

Incoherencia de la fuente

Una fuente espacialmente coherente no obedece el teorema de van Cittert-Zernike. Para ver por qué, supongamos que observamos una fuente que consta de dos puntos, y . Calculemos la función de coherencia mutua entre y en el plano de observación. A partir del principio de superposición , el campo eléctrico en es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

${\displaystyle E_{1}=E_{a1}+E_{b1}}$

y en es ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle E_{2}=E_{a2}+E_{b2}}$

Por lo tanto, la función de coherencia mutua es

${\displaystyle \langle E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )\rangle =\langle (E_{a1}(t)+E_{b1}(t))(E_{a2}^{*}(t-\tau )+E_{b2}^{*}(t-\tau ))\rangle }$

Lo cual se convierte en

${\displaystyle \langle E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )\rangle =\langle E_{a1}(t)E_{a2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{a1}(t)E_{b2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{b1}(t)E_{a2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{b1}(t)E_{b2}^{*}(t-\tau )\rangle }$

Si los puntos y son coherentes, entonces los términos cruzados en la ecuación anterior no se anulan. En este caso, cuando calculamos la función de coherencia mutua para una fuente coherente extendida, no podríamos simplemente integrar sobre la función de intensidad de la fuente; la presencia de términos cruzados distintos de cero no daría a la función de coherencia mutua una forma simple. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Esta suposición es válida para la mayoría de las fuentes astronómicas. Los púlsares y los máseres son las únicas fuentes astronómicas que muestran coherencia.

Distancia a la fuente

En la demostración del teorema suponemos que y . Es decir, suponemos que la distancia a la fuente es mucho mayor que el tamaño del área de observación. Más precisamente, el teorema de van Cittert-Zernike requiere que observemos la fuente en el llamado campo lejano. Por lo tanto, si es el tamaño característico del área de observación (por ejemplo, en el caso de un radiotelescopio de dos platos , la longitud de la línea de base entre los dos telescopios), entonces ${\displaystyle R\gg x_{1}-x_{2}}$ ${\displaystyle R\gg y_{1}-y_{2}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle R\gg {\frac {D^{2}}{\lambda }}}$

Si se toma como base razonable 20 km para el Very Large Array a una longitud de onda de 1 cm, la distancia de campo lejano es del orden de m. Por lo tanto, cualquier objeto astronómico que se encuentre más lejos que un pársec se encuentra en el campo lejano. Sin embargo, los objetos del Sistema Solar no están necesariamente en el campo lejano, por lo que el teorema de van Cittert-Zernike no se aplica a ellos. ${\displaystyle 4\times 10^{10}}$

Tamaño angular de la fuente

En la derivación del teorema de van Cittert-Zernike escribimos los cosenos directores y como y . Sin embargo, hay un tercer coseno director que se desprecia porque y ; bajo estas suposiciones, está muy cerca de la unidad. Pero si la fuente tiene una gran extensión angular, no podemos despreciar este tercer coseno director y el teorema de van Cittert-Zernike ya no se cumple. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})/R}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})/R}$ ${\displaystyle R\gg {\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})}$ ${\displaystyle R\gg {\frac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})}$

Dado que la mayoría de las fuentes astronómicas subtienden ángulos muy pequeños en el cielo (normalmente mucho menores a un grado), esta suposición del teorema se cumple fácilmente en el ámbito de la radioastronomía.

Ondas cuasi-monocromáticas

El teorema de van Cittert-Zernike supone que la fuente es cuasi monocromática. Es decir, si la fuente emite luz en un rango de frecuencias, , con frecuencia media , entonces debería satisfacer ${\displaystyle \Delta \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}\lesssim 1}$

Además, el ancho de banda debe ser lo suficientemente estrecho como para que

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}\ll {\frac {1}{lu}}}$

donde es nuevamente el coseno de dirección que indica el tamaño de la fuente y es el número de longitudes de onda entre un extremo de la apertura y el otro. Sin esta suposición, no podemos descuidar en comparación con ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (R_{2}-R_{1})/c}$ ${\displaystyle t}$

Este requisito implica que un radioastrónomo debe restringir las señales a través de un filtro de paso de banda . Debido a que los radiotelescopios casi siempre pasan la señal a través de un filtro de paso de banda relativamente estrecho, esta suposición generalmente se cumple en la práctica.

Fuente bidimensional

Suponemos que nuestra fuente se encuentra en un plano bidimensional. En realidad, las fuentes astronómicas son tridimensionales. Sin embargo, como se encuentran en el campo lejano, su distribución angular no cambia con la distancia. Por lo tanto, cuando medimos una fuente astronómica, su estructura tridimensional se proyecta sobre un plano bidimensional. Esto significa que el teorema de van Cittert-Zernike se puede aplicar a las mediciones de fuentes astronómicas, pero no podemos determinar la estructura a lo largo de la línea de visión con dichas mediciones.

Homogeneidad del medio

El teorema de van Cittert-Zernike supone que el medio entre la fuente y el plano de formación de imágenes es homogéneo. Si el medio no es homogéneo, la luz de una región de la fuente se refractará de manera diferencial con respecto a otras regiones de la fuente debido a la diferencia en el tiempo de viaje de la luz a través del medio. En el caso de un medio heterogéneo, se debe utilizar una generalización del teorema de van Cittert-Zernike, llamada fórmula de Hopkins.

Como el frente de onda no pasa a través de un medio perfectamente uniforme a medida que viaja a través del medio interestelar (y posiblemente intergaláctico ) y hacia la atmósfera terrestre , el teorema de van Cittert-Zernike no es exactamente cierto para las fuentes astronómicas. En la práctica, sin embargo, las variaciones en el índice de refracción de los medios interestelares e intergalácticos y la atmósfera terrestre son lo suficientemente pequeñas como para que el teorema sea aproximadamente cierto dentro de cualquier error experimental razonable. Tales variaciones en el índice de refracción del medio dan como resultado solo ligeras perturbaciones en el caso de un frente de onda que viaja a través de un medio homogéneo.

Fórmula de Hopkins

Supongamos que tenemos una situación idéntica a la considerada cuando se derivó el teorema de van Cittert-Zernike, excepto que el medio ahora es heterogéneo. Por lo tanto, introducimos la función de transmisión del medio, . Siguiendo una derivación similar a la anterior, encontramos que ${\displaystyle K(l,m,P,\nu )}$

${\displaystyle \Gamma _{12}(l,m,0)=\lambda ^{2}\iint I(l,m)K(l,m,P_{1},\nu )K^{*}(l,m,P_{2},\nu )\,dS}$

Si definimos

${\displaystyle U(l,m,P_{1})\equiv i\lambda K(l,m,P_{1},\nu ){\sqrt {I(l,m)}}}$

Entonces la función de coherencia mutua se convierte en

${\displaystyle \Gamma _{12}(l,m,0)=\iint U(l,m,P_{1})U^{*}(l,m,P_{2})\,dS}$

que es la generalización de Hopkins del teorema de van Cittert-Zernike. ^[9] En el caso especial de un medio homogéneo, la función de transmisión se convierte en

${\displaystyle K(l,m,P,\nu )=-{\frac {ie^{ikR}}{\lambda R}}}$

En este caso, la función de coherencia mutua se reduce a la transformada de Fourier de la distribución de brillo de la fuente. La principal ventaja de la fórmula de Hopkins es que se puede calcular la función de coherencia mutua de una fuente indirectamente midiendo su distribución de brillo.

Aplicaciones del teorema

Síntesis de apertura

El teorema de van Cittert-Zernike es crucial para la medición de la distribución del brillo de una fuente. Con dos telescopios, un radioastrónomo (o un astrónomo de infrarrojos o submilimétrico) puede medir la correlación entre el campo eléctrico en las dos antenas debido a algún punto de la fuente. Al medir esta correlación para muchos puntos de la fuente, el astrónomo puede reconstruir la función de visibilidad de la fuente. Al aplicar el teorema de van Cittert-Zernike, el astrónomo puede entonces tomar la transformada inversa de Fourier de la función de visibilidad para descubrir la distribución del brillo de la fuente. Esta técnica se conoce como síntesis de apertura o imágenes de síntesis.

En la práctica, los radioastrónomos rara vez recuperan la distribución de brillo de una fuente tomando directamente la transformada inversa de Fourier de una función de visibilidad medida. Tal proceso requeriría una cantidad suficiente de muestras para satisfacer el teorema de muestreo de Nyquist ; esto es muchas más observaciones de las que se necesitan para reconstruir aproximadamente la distribución de brillo de la fuente. Por lo tanto, los astrónomos aprovechan las restricciones físicas de la distribución de brillo de las fuentes astronómicas para reducir la cantidad de observaciones que deben realizarse. Debido a que la distribución de brillo debe ser real y positiva en todas partes, la función de visibilidad no puede tomar valores arbitrarios en regiones no muestreadas. Por lo tanto, se puede utilizar un algoritmo de deconvolución no lineal como CLEAN o Maximum Entropy para reconstruir aproximadamente la distribución de brillo de la fuente a partir de una cantidad limitada de observaciones. ^[10]

Óptica adaptativa

El teorema de van Cittert-Zernike también impone restricciones a la sensibilidad de un sistema de óptica adaptativa . En un sistema de óptica adaptativa (OA), se proporciona un frente de onda distorsionado que debe transformarse en un frente de onda sin distorsión. Un sistema OA debe realizar una serie de correcciones diferentes para eliminar las distorsiones del frente de onda. Una de esas correcciones implica dividir el frente de onda en dos frentes de onda idénticos y desplazar uno de ellos una cierta distancia física en el plano del frente de onda. Luego, los dos frentes de onda se superponen, creando un patrón de franjas. Al medir el tamaño y la separación de las franjas, el sistema OA puede determinar las diferencias de fase a lo largo del frente de onda. ^[11] Esta técnica se conoce como "corte". ${\displaystyle s}$

La sensibilidad de esta técnica está limitada por el teorema de van Cittert-Zernike. ^[12] Si se obtiene una imagen de una fuente extendida, el contraste entre las franjas se reducirá en un factor proporcional a la transformada de Fourier de la distribución de brillo de la fuente. ^[13] El teorema de van Cittert-Zernike implica que la coherencia mutua de una fuente extendida obtenida por un sistema AO será la transformada de Fourier de su distribución de brillo. Por lo tanto, una fuente extendida cambiará la coherencia mutua de las franjas, reduciendo su contraste.

Láser de electrones libres

El teorema de van Cittert-Zernike se puede utilizar para calcular la coherencia espacial parcial de la radiación de un láser de electrones libres .

Véase también

• Grado de coherencia
• Teoría de la coherencia
• Visibilidad
• Efecto Hanbury Brown y Twiss
• Correlaciones de Bose-Einstein

Referencias

1. Leonard Mandel; Emil Wolf (1995). Coherencia óptica y óptica cuántica (edición ilustrada y reimpresa). Cambridge University Press. pág. 188. ISBN 978-0-521-41711-2.Extracto de la página 188
2. Geoffrey Brooker (2003). Óptica clásica moderna (edición ilustrada y reimpresa). OUP Oxford. pág. 227. ISBN 978-0-19-859965-4.Extracto de la página 227
3. LJ Chou (2009). Dispositivos electrónicos y fotónicos unidimensionales a escala nanométrica 3 (NODEPD 3) (edición ilustrada). The Electrochemical Society. pág. 16. ISBN 978-1-56677-747-6.Extracto de la página 16
4. Mahmoud A Selim, Yasser M Sabry, Frédéric Marty, Tarik Bourouina y Diaa Khalil (2024). "Modelado y caracterización de resonadores multicapa profundamente grabados bajo excitación coherente parcial a través de fibras ópticas multimodo". Journal of Optics . 26 (6): 065801. doi :10.1088/2040-8986/ad3bcb.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Thompson, AR; Moran, J. M; Swenson, GW (2017). Teorema de Van Cittert-Zernike, coherencia espacial y dispersión. En: Interferometría y síntesis en radioastronomía. Biblioteca de Astronomía y Astrofísica . Springer, Cham. doi :10.1007/978-3-319-44431-4_15. ISBN 978-3-319-44431-4.
6. PH van Cittert (1934). "Die Wahrscheinliche Schwingungsverteilung in Einer von Einer Lichtquelle Direkt Oder Mittels Einer Linse Beleuchteten Ebene". Física . 1 (1–6): 201–210. Código bibliográfico : 1934Phy......1..201V. doi :10.1016/S0031-8914(34)90026-4.
7. F. Zernike (1938). "El concepto de grado de coherencia y su aplicación a problemas ópticos". Physica . 5 (8): 785–795. Bibcode :1938Phy.....5..785Z. doi :10.1016/S0031-8914(38)80203-2.
8. Goodman, Joseph W. (1985). Óptica estadística . John Wiley & Sons, Inc.
9. Born y Wolf, Principios de óptica , págs. 510
10. Burke y Graham-Smith, Introducción a la radioastronomía , págs. 92
11. F. Roddier, Óptica adaptativa en astronomía , págs. 95
12. J. Hardy, Óptica adaptativa para telescopios astronómicos , págs. 159
13. Koliopoulos, Appl. Opt , 19 , 1523 (1980)

Bibliografía

• Born, M. y Wolf, E .: Principios de óptica , Pergamon Press, Oxford, 1987, pág. 510
• Klein, Miles V. y Furtak, Thomas E. : Óptica , John Wiley & Sons, Nueva York, 1986, 2.ª edición, pág. 544-545

Enlaces externos

• Conferencia sobre el teorema de Van Cittert-Zernike con aplicaciones. Universidad de Berkeley, profesor David T. Attwood en YouTube (AST 210/EE 213, conferencia 23)]