Teorema de Sokhotski-Plemelj

Teorema de análisis complejo

El teorema de Sokhotski-Plemelj (la ortografía polaca es Sochocki ) es un teorema de análisis complejo que ayuda a evaluar ciertas integrales. La versión en línea real (ver más abajo) se usa a menudo en física, aunque rara vez se menciona por su nombre. El teorema lleva el nombre de Julian Sochocki , quien lo demostró en 1868, y Josip Plemelj , quien lo redescubrió como ingrediente principal de su solución del problema de Riemann-Hilbert en 1908.

Declaración del teorema

Sea C una curva simple cerrada y suave en el plano y una función analítica en C. Tenga en cuenta que la integral de tipo Cauchy ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \phi (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},}$

no se puede evaluar para cualquier z en la curva C. Sin embargo, en el interior y exterior de la curva, la integral produce funciones analíticas, que se denotarán dentro de C y fuera. Las fórmulas de Sokhotski-Plemelj relacionan los valores límite límite de estas dos funciones analíticas en un punto z en C y el valor principal de Cauchy de la integral: ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle \phi _{e}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \lim _{w\to z}\phi _{i}(w)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}+{\frac {1}{2}}\varphi (z),}$

${\displaystyle \lim _{w\to z}\phi _{e}(w)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).}$

Las generalizaciones posteriores relajan los requisitos de suavidad en la curva C y la función φ .

Versión para la línea real.

Especialmente importante es la versión para integrales sobre la recta real.

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\mp i\pi \delta (x)+{\mathcal {P}}{{\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )}}.}$

donde está la función delta de Dirac donde denota el valor principal de Cauchy . Se puede tomar la diferencia de estas dos igualdades para obtener ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[{\frac {1}{x-i\varepsilon }}-{\frac {1}{x+i\varepsilon }}\right]=2\pi i\delta (x).}$

Estas fórmulas deben interpretarse como igualdades integrales, de la siguiente manera: Sea f una función de valores complejos definida y continua en la recta real, y sean a y b constantes reales con . Entonces ${\displaystyle a<0<b}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx}$

y

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left[{\frac {f(x)}{x-i\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{x+i\varepsilon }}\right]\,dx=2\pi if(0)}$

Tenga en cuenta que esta versión no utiliza la analiticidad.

Prueba de la versión real.

Una prueba sencilla es la siguiente.

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$

Para el primer término, observamos que ε ⁄ π ( x ²  +  ε ² ) es una función delta naciente y, por lo tanto, se aproxima a una función delta de Dirac en el límite. Por tanto, el primer término es igual a ∓ i π  f (0).

Para el segundo término, observamos que el factor x ² ⁄ ( x ²  +  ε ² ) tiende a 1 para | x | ≫  ε , tiende a 0 para | x | ≪ ε, y es exactamente simétrica con respecto a 0. Por lo tanto, en el límite, convierte la integral en una integral de valor principal de Cauchy .

aplicación de física

En mecánica cuántica y teoría cuántica de campos , a menudo hay que evaluar integrales de la forma

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt)}$

donde E es algo de energía y t es el tiempo. Esta expresión, tal como está escrita, no está definida (dado que la integral de tiempo no converge), por lo que generalmente se modifica agregando un término real negativo a -iEt en la exponencial y luego llevándolo a cero, es decir:

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)=-i\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,}$

donde el último paso utiliza la versión real del teorema.

función heitler

En óptica cuántica teórica , la derivación de una ecuación maestra en forma de Lindblad a menudo requiere la siguiente función integral, ^[1] que es una consecuencia directa del teorema de Sokhotski-Plemelj y a menudo se denomina función de Heitler :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\tau \,\exp(-i(\omega \pm \nu )\tau )=\pi \delta (\omega \pm \nu )-i{\mathcal {P}}{\Big (}{\frac {1}{\omega \pm \nu }}{\Big )}}$

Ver también

• Operadores integrales singulares en curvas cerradas (explicación del teorema de Sokhotski-Plemelj para el círculo unitario y una curva de Jordan cerrada)
• Relaciones Kramers-Kronig
• Transformada de Hilbert

Referencias

1. Breuer, Heinz-Peter; Petruccione, Francesco (2002). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 145. doi :10.1093/acprof:oso/9780199213900.001.0001. ISBN 978-0-19-852063-4.

Literatura

• Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos, volumen 1: fundamentos . Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN 0-521-55001-7.Capítulo 3.1.
• Merzbacher, Eugen (1998). Mecánica cuántica . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-88702-1.Apéndice A, ecuación (A.19).
• Henrici, Peter (1986). Análisis complejo computacional y aplicado, vol. 3 . Willey, John & Sons, Inc.
• Plemelj, Josip (1964). Problemas en el sentido de Riemann y Klein . Nueva York: Interscience Publishers.
• Gakhov, FD (1990), Problemas de valores en la frontera. Reimpresión de la traducción de 1966 , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
• Muskhelishvili, NI (1949). Ecuaciones integrales singulares, problemas de frontera de la teoría de funciones y su aplicación a la física matemática . Melbourne: Departamento de Suministro y Desarrollo, Laboratorios de Investigación Aeronáutica.
• Blanchard, Bruening: Métodos matemáticos en física (Birkhauser 2003), ejemplo 3.3.1 4
• Sokhotskii, YW (1873). Sobre integrales definidas y funciones utilizadas en expansiones en serie . San Petersburgo.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)