En geometría absoluta , el teorema de Saccheri-Legendre establece que la suma de los ángulos de un triángulo es como máximo 180°. [1] La geometría absoluta es la geometría obtenida al asumir todos los axiomas que conducen a la geometría euclidiana con excepción del axioma que es equivalente al postulado de las paralelas de Euclides. [a]
El teorema recibe su nombre de Giovanni Girolamo Saccheri y Adrien-Marie Legendre . Apareció en el libro de Saccheri de 1733 Euclides ab omni naevo vindicatus [ Euclides liberado de todo defecto ], pero su obra cayó en el olvido. Durante muchos años después del redescubrimiento del teorema por parte de Legendre, se lo llamó teorema de Legendre. [2]
La existencia de al menos un triángulo con una suma de ángulos de 180 grados en geometría absoluta implica el postulado de las paralelas de Euclides. De manera similar, la existencia de al menos un triángulo con una suma de ángulos de menos de 180 grados implica el postulado característico de la geometría hiperbólica . [3]
Una prueba del teorema de Saccheri-Legendre utiliza el axioma de Arquímedes , en la forma en que dividir repetidamente por la mitad uno de dos ángulos dados producirá eventualmente un ángulo más agudo que el segundo de los dos. [1] Max Dehn dio un ejemplo de una geometría no legendaria donde la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180 grados, y una geometría semieuclidiana donde hay un triángulo con una suma de ángulos de 180 grados pero el postulado de las paralelas de Euclides falla. En estos planos de Dehn el axioma de Arquímedes no se cumple. [4]