En matemáticas, el teorema de O'Nan-Scott es uno de los teoremas más influyentes de la teoría de grupos de permutaciones ; la clasificación de grupos finitos simples es lo que la hace tan útil. Originalmente, el teorema trataba sobre subgrupos máximos del grupo simétrico . Apareció como apéndice de un artículo de Leonard Scott escrito para la Conferencia de Santa Cruz sobre Grupos Finitos en 1979, con una nota a pie de página de que Michael O'Nan había demostrado de forma independiente el mismo resultado. [1] Michael Aschbacher y Scott dieron más tarde una versión corregida del enunciado del teorema. [2]
El teorema establece que un subgrupo máximo del grupo simétrico Sym(Ω), donde |Ω| = n , es uno de los siguientes:
En un estudio escrito para el Bulletin of the London Mathematical Society , Peter J. Cameron parece haber sido el primero en reconocer que el verdadero poder del teorema de O'Nan-Scott reside en la capacidad de dividir los grupos primitivos finitos en varios tipos. [3] MW Liebeck , Cheryl Praeger y Jan Saxl dieron una versión completa del teorema con una demostración independiente . [4] El teorema es ahora una parte estándar de los libros de texto sobre grupos de permutación. [5]
Los ocho tipos O'Nan-Scott de grupos de permutación primitivos finitos son los siguientes:
HA (holomorfo de un grupo abeliano): Estos son los grupos primitivos que son subgrupos del grupo lineal general afín AGL ( d , p ), para algún primo p y entero positivo d ≥ 1. Para que tal grupo G sea primitivo, debe contener el subgrupo de todas las traslaciones, y el estabilizador G 0 en G del vector cero debe ser un subgrupo irreducible de GL( d,p ). Los grupos primitivos de tipo HA se caracterizan por tener un único subgrupo normal mínimo que es abeliano elemental y actúa regularmente.
HS (holomorfo de un grupo simple): Sea T un grupo simple finito no abeliano. Entonces M = T × T actúa sobre Ω = T por t ( t 1 , t 2 ) = t 1 −1 tt 2 . Ahora M tiene dos subgrupos normales mínimos N 1 , N 2 , cada uno isomorfo a T y cada uno actúa regularmente sobre Ω, uno por multiplicación por la derecha y otro por multiplicación por la izquierda. La acción de M es primitiva y si tomamos α = 1 T tenemos M α = {( t , t )| t ∈ T }, que incluye Inn( T ) en Ω. De hecho, cualquier automorfismo de T actuará sobre Ω. Un grupo primitivo de tipo HS es entonces cualquier grupo G tal que M ≅ T .Inn( T ) ≤ G ≤ T .Aut( T ). Todos estos grupos tienen N 1 y N 2 como subgrupos normales mínimos.
HC (holomorfo de un grupo compuesto): Sea T un grupo simple no abeliano y sea N 1 ≅ N 2 ≅ T k para algún entero k ≥ 2. Sea Ω = T k . Entonces M = N 1 × N 2 actúa transitivamente sobre Ω a través de x ( n 1 , n 2 ) = n 1 −1 xn 2 para todo x ∈ Ω, n 1 ∈ N 1 , n 2 ∈ N 2 . Como en el caso HS, tenemos M ≅ T k .Inn( T k ) y cualquier automorfismo de T k también actúa sobre Ω. Un grupo primitivo de tipo HC es un grupo G tal que M ≤ G ≤ T k .Aut( T k )y G induce un subgrupo de Aut( T k ) = Aut( T )wr S k que actúa transitivamente sobre el conjunto de k factores directos simples de T k . Cualquier G de este tipo tiene dos subgrupos normales mínimos, cada uno de ellos isomorfo a T k y regular.
Un grupo de tipo HC conserva una estructura de producto Ω = Δ k donde Δ = T y G ≤ H wr S k donde H es un grupo primitivo de tipo HS en Δ.
TW (corona retorcida): Aquí G tiene un subgrupo normal mínimo único N y N ≅ T k para algún grupo simple finito no abeliano T y N actúa regularmente sobre Ω. Estos grupos se pueden construir como productos de coronas retorcidas y de ahí la etiqueta TW. Las condiciones requeridas para obtener primitividad implican que k ≥ 6, por lo que el grado más pequeño de dicho grupo primitivo es 60 6 .
AS (casi simple): Aquí G es un grupo que se encuentra entre T y Aut ( T ), es decir, G es un grupo casi simple y de ahí el nombre. No se nos dice nada sobre cuál es la acción, aparte de que es primitiva. Un análisis de este tipo requiere conocer las posibles acciones primitivas de grupos casi simples, lo que equivale a conocer los subgrupos máximos de grupos casi simples.
SD (diagonal simple): Sea N = T k para algún grupo simple no abeliano T y un entero k ≥ 2 y sea H = {( t,...,t )| t ∈ T } ≤ norte . Entonces N actúa sobre el conjunto Ω de clases laterales derechas de H en N mediante multiplicación derecha. Podemos tomar {( t 1 ,..., t k −1 , 1)| t i ∈ T } es un conjunto de representantes de clases laterales para H en N y por lo tanto podemos identificar Ω con T k −1 . Ahora ( s 1 ,..., s k ) ∈ N lleva la clase lateral con representante ( t 1 ,..., t k −1 , 1 ) a la clase lateral H ( t 1 s 1 ,..., t k −1 s k −1 , s k ) = H ( s k −1 t k s 1 ,..., s k −1 t k −1 s k −1 , 1). El grupo S k induce automorfismos de N permutando las entradas y fija el subgrupo H y así actúa sobre el conjunto Ω. Además, tenga en cuenta que H actúa sobre Ω al inducir Inn( T ) y, de hecho, cualquier automorfismo σ de T actúa sobre Ω al llevar la clase lateral con representante ( t 1 ,..., t k −1 , 1) a la clase lateral con representativo ( t 1 σ ,..., t k −1 σ , 1). Así obtenemos un grupo W = N .(Out( T ) × S k ) ≤ Sym(Ω). Un grupo primitivo de tipo SD es un grupo G ≤ W tal que N ◅ G y G induce un subgrupo primitivo de S k sobre los k factores directos simples de N .
CD (diagonal compuesta): Aquí Ω = Δ k y G ≤ H wr S k donde H es un grupo primitivo de tipo SD en Δ con un subgrupo normal mínimo T l . Además, N = T kl es un subgrupo normal mínimo de G y G induce un subgrupo transitivo de S k .
PA (acción del producto): Aquí Ω = Δ k y G ≤ H wr S k donde H es un grupo primitivo casi simple en Δ con zócalo T. Por tanto , G tiene una acción producto sobre Ω. Además, N = T k ◅ G y G induce un subgrupo transitivo de S k en su acción sobre los k factores directos simples de N.
Algunos autores utilizan diferentes divisiones de los tipos. Lo más común es incluir los tipos HS y SD juntos como un "tipo diagonal" y los tipos HC, CD y PA juntos como un "tipo de acción de producto". [6] Praeger luego generalizó el teorema de O'Nan-Scott a grupos cuasiprimitivos ( grupos con acciones fieles tales que la restricción a cada subgrupo normal no trivial es transitiva [7] .