Los tres primeros pasos de la construcción de la curva de Hilbert , una curva que llena el espacio y que, según el teorema de Netto, tiene muchas autointersecciones.Una curva de Osgood sin intersecciones entre sí. Según el teorema de Netto, es imposible que una curva de este tipo cubra por completo una región bidimensional.
En 1878, Jacob Lüroth demostró que es posible aplicar funciones de una variedad de dimensiones superiores a una variedad unidimensional , utilizando el teorema del valor intermedio para demostrar que ninguna variedad que contenga un círculo topológico puede aplicarse de forma continua y biyectiva a la línea real . Tanto Netto en 1878 como Georg Cantor en 1879 dieron pruebas erróneas del teorema general. Las fallas fueron reconocidas y corregidas más tarde. [2]
Un caso especial importante de este teorema se refiere a la no existencia de biyecciones continuas desde espacios unidimensionales, como la línea real o el intervalo unitario , a espacios bidimensionales, como el plano euclidiano o el cuadrado unitario . Las condiciones del teorema se pueden relajar de diferentes maneras para obtener clases interesantes de funciones desde espacios unidimensionales a espacios bidimensionales:
Las curvas que rellenan el espacio son funciones continuas sobreyectivas que van desde espacios unidimensionales a espacios bidimensionales. Cubren cada punto del plano, o de un cuadrado unitario, mediante la imagen de una línea o intervalo unitario. Algunos ejemplos son la curva de Peano y la curva de Hilbert . Ninguno de estos ejemplos tiene autocruces, pero según el teorema de Netto hay muchos puntos del cuadrado que están cubiertos varias veces por estas curvas. [1]
Las curvas de Osgood son biyecciones continuas de espacios unidimensionales a subconjuntos del plano que tienen un área distinta de cero . Forman curvas de Jordan en el plano. Sin embargo, según el teorema de Netto, no pueden cubrir todo el plano, el cuadrado unitario ni ninguna otra región bidimensional . [1]
Si se relaja el requisito de continuidad, entonces todas las variedades suaves de dimensión acotada tienen igual cardinalidad , la cardinalidad del continuo . Por lo tanto, existen biyecciones discontinuas entre dos de ellas, como demostró Georg Cantor en 1878. [2] [3] El resultado de Cantor sorprendió a muchos matemáticos e inició la línea de investigación que condujo a las curvas que llenan el espacio, las curvas de Osgood y el teorema de Netto. [2] Se puede obtener una casi biyección del cuadrado unitario al intervalo unitario intercalando los dígitos de las representaciones decimales de las coordenadas cartesianas de los puntos en el cuadrado. Las ambigüedades del decimal, ejemplificadas por las dos representaciones decimales de 1 = 0,999... , hacen que esto sea una inyección en lugar de una biyección, pero este problema se puede reparar utilizando el teorema de Schröder-Bernstein . [3]
Referencias
^ abc Sagan, Hans (1994), Curvas que llenan el espacio, Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, Sr. 1299533. Para el enunciado del teorema y los antecedentes históricos, véase el Teorema 1.3, pág. 6. Para su demostración para el caso de biyecciones entre el intervalo unitario y un conjunto bidimensional, véase la Sección 6.4, "Demostración del teorema de Netto", págs. 97-98. Para la aplicación del teorema de Netto a las autointersecciones de curvas que llenan el espacio y para las curvas de Osgood, véase el Capítulo 8, "Curvas de Jordan de medida de Lebesgue positiva", págs. 131-143.
^ abc Dauben, Joseph W. (1975), "La invariancia de la dimensión: problemas en el desarrollo temprano de la teoría de conjuntos y la topología", Historia Mathematica , 2 : 273–288, doi : 10.1016/0315-0860(75)90066-X , MR 0476319
^ ab Gouvêa, Fernando Q. (2011), "¿Cantor se sorprendió?", The American Mathematical Monthly , 118 (3): 198–209, doi :10.4169/amer.math.monthly.118.03.198, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.118.03.198, MR 2800330
