Teorema de Milliken-Taylor

Generalización tanto del teorema de Ramsey como del teorema de Hindman

En matemáticas , el teorema de Milliken-Taylor en combinatoria es una generalización tanto del teorema de Ramsey como del teorema de Hindman . Recibe su nombre en honor a Keith Milliken y Alan D. Taylor .

Sea el conjunto de subconjuntos finitos de , y definamos un orden parcial en por α<β si y solo si máx α<mín β. Dada una secuencia de números enteros y k > 0 , sea ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{f}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{f}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \langle a_{n}\rangle _{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {N} }$

${\displaystyle [FS(\langle a_{n}\rangle _{n=0}^{\infty })]_{<}^{k}=\left\{\left\{\sum _{t\in \alpha _{1}}a_{t},\ldots ,\sum _{t\in \alpha _{k}}a_{t}\right\}:\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{k}\in {\mathcal {P}}_{f}(\mathbb {N} ){\text{ and }}\alpha _{1}<\cdots <\alpha _{k}\right\}.}$

Sea n los subconjuntos de k elementos de un conjunto S . El teorema de Milliken-Taylor dice que para cualquier partición finita , existen algunos i ≤ r y una secuencia tal que . ${\displaystyle [S]^{k}}$ ${\displaystyle [\mathbb {N} ]^{k}=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{r}}$ ${\displaystyle \langle a_{n}\rangle _{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle [FS(\langle a_{n}\rangle _{n=0}^{\infty })]_{<}^{k}\subset C_{i}}$

Para cada , llamemos un conjunto MT ^k . Luego, alternativamente, el teorema de Milliken-Taylor afirma que la colección de conjuntos MT ^k es regular en cuanto a la partición para cada k . ${\displaystyle \langle a_{n}\rangle _{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle [FS(\langle a_{n}\rangle _{n=0}^{\infty })]_{<}^{k}}$

Referencias

• Milliken, Keith R. (1975), "Teorema de Ramsey con sumas o uniones", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 18 (3): 276–290, doi : 10.1016/0097-3165(75)90039-4 , MR  0373906.
• Taylor, Alan D. (1976), "Una relación de partición canónica para subconjuntos finitos de ω", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 21 (2): 137–146, doi :10.1016/0097-3165(76)90058-3, MR  0424571.