teorema de menelao

Geometric relation on line segments formed by a line cutting through a triangle

Teorema de Menelao, caso 1: la recta DEF pasa por el interior del triángulo △ ABC

En la geometría euclidiana , el teorema de Menelao , llamado así por Menelao de Alejandría , es una proposición sobre triángulos en geometría plana . Supongamos que tenemos un triángulo △ ABC y una recta transversal que cruza BC, AC, AB en los puntos D, E, F respectivamente, siendo D, E, F distintos de A, B, C. Una versión débil del teorema establece que

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}$$

donde "| |" denota valor absoluto (es decir, todas las longitudes de los segmentos son positivas).

El teorema se puede reforzar con una afirmación sobre longitudes de segmentos con signo , que proporciona información adicional sobre el orden relativo de los puntos colineales. Aquí, la longitud AB se considera positiva o negativa según si A está a la izquierda o a la derecha de B en alguna orientación fija de la línea; por ejemplo, se define como que tiene un valor positivo cuando F está entre A y B y negativo en caso contrario. La versión firmada del teorema de Menelao establece ${\displaystyle {\tfrac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1.}$$

De manera equivalente, ^[1]

$${\displaystyle {\overline {AF}}\times {\overline {BD}}\times {\overline {CE}}=-{\overline {FB}}\times {\overline {DC}}\times {\overline {EA}}.}$$

Algunos autores organizan los factores de manera diferente y obtienen la relación aparentemente diferente ^[2]

$${\displaystyle {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1,}$$

Lo contrario también es cierto: si los puntos D, E, F se eligen en BC, AC, AB respectivamente de modo que

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1,}$$

D, E, Fcolineales

El teorema es muy similar al teorema de Ceva en que sus ecuaciones difieren sólo en el signo. Al reescribir cada uno en términos de razones cruzadas , los dos teoremas pueden verse como duales proyectivos . ^[3]

Pruebas

Teorema de Menelao, caso 2: la línea DEF está completamente fuera del triángulo △ ABC

Una prueba estándar [4]

Primero, el signo del lado izquierdo será negativo ya que o las tres razones son negativas, el caso en el que la línea DEF no pasa por el triángulo (diagrama inferior), o una es negativa y las otras dos son positivas, el caso donde DEF cruza dos lados del triángulo. (Ver el axioma de Pasch ).

Para verificar la magnitud, construya perpendiculares desde A, B, C a la línea DEF y sean sus longitudes a, b, c respectivamente. Luego por triángulos semejantes se sigue que

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|.}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{c}}\times {\frac {c}{a}}\right|=1.}$$

Para una forma más simple, aunque menos simétrica, de verificar la magnitud, [ ^5] dibuje CK paralela a AB donde DEF se encuentra con CK en K. Luego por triángulos semejantes

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {BF}}{\overline {CK}}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {CK}}}\right|,}$$

CK

Lo contrario sigue como corolario. ^[6] Sean D, E, F en las rectas BC, AC, AB para que se cumpla la ecuación. Sea F' el punto donde DE cruza a AB . Entonces, según el teorema, la ecuación también es válida para D, E, F' . Comparando los dos,

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}\ .}$$

F = F'.

Una prueba usando homotecias

La siguiente prueba ^[7] utiliza sólo nociones de geometría afín , en particular homotecias . Ya sea que D, E, F sean colineales o no , hay tres homotecias con centros D, E, F que envían respectivamente B a C , C a A y A a B. La composición de los tres entonces es un elemento del grupo de homotecias-traslaciones que fija B , por lo que es una homotecia con centro B , posiblemente con razón 1 (en cuyo caso es la identidad). Esta composición fija la recta DE si y sólo si F es colineal con D, E (ya que las dos primeras homotecias ciertamente fijan DE , y la tercera lo hace sólo si F se encuentra en DE ). Por lo tanto D, E, F son colineales si y sólo si esta composición es la identidad, lo que significa que la magnitud del producto de las tres razones es 1:

$${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrightarrow {FA}}}=1,}$$

Historia

No se sabe quién descubrió realmente el teorema; sin embargo, la exposición más antigua que existe aparece en Esféricas de Menelao. En este libro, la versión plana del teorema se utiliza como lema para demostrar una versión esférica del teorema. ^[8]

En Almagesto , Ptolomeo aplica el teorema a una serie de problemas de astronomía esférica. ^[9] Durante la Edad de Oro islámica , los eruditos musulmanes dedicaron una serie de obras que se dedicaron al estudio del teorema de Menelao, al que se referían como "la proposición sobre las secantes" ( shakl al-qatta' ). Al cuadrilátero completo se le llamaba "figura de secantes" en su terminología. ^[9] El trabajo de Al-Biruni , Las claves de la astronomía , enumera una serie de esos trabajos, que pueden clasificarse en estudios como parte de comentarios sobre el Almagesto de Ptolomeo como en los trabajos de al-Nayrizi y al-Khazin , donde cada uno demostró casos particulares del teorema de Menelao que llevaron a la regla del seno , ^[10] o obras compuestas como tratados independientes como:

• El "Tratado sobre la figura de las secantes" ( Risala fi shakl al-qatta' ) de Thabit ibn Qurra . ^[9]
• Quitar el velo de los misterios de la figura de las secantes de Husam al-Din al-Salar (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), también conocido como "El libro sobre la figura de las secantes" ( Kitab al-shakl al-qatta' ) o en Europa como Tratado sobre el cuadrilátero completo . Sharaf al-Din al-Tusi y Nasir al-Din al-Tusi hicieron referencia al tratado perdido . ^[9]
• Obra de al-Sijzi . ^[10]
• Tahdhib de Abu Nasr ibn Irak . ^[10]
• Roshdi Rashed y Athanase Papadopoulos, Las Esféricas de Menelao: Traducción temprana y la versión de al-Mahani'/al-Harawi (Edición crítica de las Esféricas de Menelao a partir de los manuscritos árabes, con comentarios históricos y matemáticos), De Gruyter, Serie: Scientia Graeco-Arabica , 21, 2017, 890 páginas. ISBN  978-3-11-057142-4

Referencias

1. Russell, pág. 6.
2. Johnson, Roger A. (2007) [1927], Geometría euclidiana avanzada , Dover, pág. 147, ISBN 978-0-486-46237-0
3. Benítez, Julio (2007). "Una prueba unificada de los teoremas de Ceva y Menelao utilizando geometría proyectiva" (PDF) . Revista de Geometría y Gráfica . 11 (1): 39–44.
4. Sigue a Russell
5. Sigue a Hopkins, George Irving (1902). "Artículo 983". Geometría plana inductiva. DC Heath & Co.
6. Sigue a Russel con cierta simplificación.
7. Véase Michèle Audin, Géométrie, éditions BELIN, París 1998: indicación para el ejercicio 1.37, p. 273
8. Smith, DE (1958). Historia de las Matemáticas . vol. II. Publicaciones de Courier Dover. pag. 607.ISBN​ 0-486-20430-8.
9. Rashed, Roshdi (1996). Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe . vol. 2. Londres: Routledge. pag. 483.ISBN​ 0-415-02063-8.
10. Moussa, Ali (2011). "Métodos matemáticos en Almagest de Abū al-Wafāʾ y las determinaciones de Qibla". Ciencias y Filosofía Árabes . 21 (1). Prensa de la Universidad de Cambridge : 1–56. doi :10.1017/S095742391000007X. S2CID  171015175.

• Russell, John Wellesley (1905). "Cap. 1 §6 "Teorema de Menelao"". Geometría pura. Clarendon Press.

enlaces externos

• Prueba alternativa del teorema de Menelao, de PlanetMath
• Menelao de Ceva
• Ceva y Menelao se encuentran en los caminos
• Menelao y Ceva en MathPages
• Demostración del teorema de Menelao por Jay Warendorff. El proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Menelao". MundoMatemático .